Demostrar que $ (\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n})^{\sum_{i=1}^n x_i} \le \prod_{i=1}^n {x_i}^{x_i}$ $, \forall x_i>0, n\ge1 $

Question

Demostrar que $ (\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n})^{\sum_{i=1}^n x_i} \le \prod_{i=1}^n {x_i}^{x_i}$ $, \forall x_i>0, n\ge1 $
(La segunda suma en el lado izquierdo de la desigualdad es un exponente)

Llevo un día intentando resolver esto, sobre todo tratando de usar el de Jensen, pero no consigo averiguar cómo entrelazar el $n$ en el lado izquierdo con las otras variables.

Answer 1

La pista.

Utilice Jensen para la función convexa $f(x)=x\ln{x}.$

Answer 2

Oop, encontré una respuesta... Supongo que escribirlo de forma adecuada (como la visualización de MathJax) me ayudó a ver el "enlace" entre la parte izquierda y la derecha

La desigualdad es equivalente a $$ (\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n})^{(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}) * n } \le \prod_{i=1}^n {x_i}^{x_i} $$ lo que equivale entonces a, logaritmizar, $$ n* f(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}) \le \sum_{i=1}^n f(x_i) $$ donde $ f(x)=x*ln(x) $ y como $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$ es convexo en su dominio, Q.E.D

(¡Gracias también a @Michael Rozenberg! )