Cálculo de volumen Método de la cáscara cilíndrica

Question

Utilice el método de las cáscaras cilíndricas para encontrar el volumen generado por la rotación de la región delimitada por

• $\displaystyle y=\begin{cases}\frac{\sin x}x&\text{ if }x>0\\1&\text{ if }x=0\end{cases}$
• $y=0$
• $x=0$
• $x=\pi$

sobre el $y$ -eje.

Intenté hacerlo usando

\begin{align} V&=\int_0^\pi2\pi x\frac{\sin x}x\,\mathrm dx\\ &=2\pi\int_0^\pi\sin x\,\mathrm dx\\ &=4\pi. \end{align}

¿Es esto correcto? ¿Y cuando $x=0$ ? ¿No debería afectar al integrando? así que quizás algo como
\begin{align} V&=\int_{0^-}^{0^+} 2\pi x\mathrm dx\\ \end{align} ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Sí, es correcto; la respuesta es $4\pi$ por la razón que has dado. Y, si $f$ es su función, entonces $$0\times f(0)=0\times1=0=\sin(0).$$ Por lo tanto, no hay ningún problema con $x=0$ .