Demuestra que $((\phi → \psi)→((\psi→\chi)→(\phi→\chi)))$ es un teorema de L.

Question

Demuestra que $((\phi \psi)((\psi\chi)(\phi\chi)))$ es un teorema de L.

En una parte anterior de la pregunta se me pide que enuncie el teorema de la deducción, así que asumo que tengo que usar esto y los axiomas A1, A2, A3, y también el Modus Ponens para demostrar que la fórmula es un teorema de L.

Estoy realmente luchando con hacer cualquier pregunta usando los axiomas para demostrar que algo es un teorema de L. Casi puedo trabajar mi camino a través de un ejemplo, pero incluso entonces estoy confundido con el por qué / cómo se hacen ciertos pasos.

¿Podría ayudarme a resolver esto? Gracias

Answer 1

Si se permite apelar al teorema de la deducción, entonces esto es muy fácil, y de hecho no es necesario apelar a ninguno de los axiomas (por lo que resulta que esta pregunta se puede responder aunque no nos hayas dicho qué axiomas concretos son A1, A2, A3 de hecho).

Porque puedes mostrar

$$\varphi, (\varphi \to \psi), (\psi \to \chi) \vdash_L \chi$$

utilizando el modus ponens dos veces (¿ok?). Entonces una aplicación del teorema de la deducción te da

$$(\varphi \to \psi), (\psi \to \chi) \vdash_L (\varphi \to \chi)$$

(¿OK?) y una segunda aplicación le da

$$(\varphi \to \psi) \vdash_L ((\psi \to \chi) \to (\varphi \to \chi))$$

(¿DE ACUERDO?). ¿Y qué pasa si vuelves a utilizar el teorema de la deducción?

Answer 2

Entonces, veamos "((ϕ→ψ)→((ψ→χ)→(ϕ→χ))". Se trata de un condicional. ¿Cuál es su antecedente? (ϕ→ψ). ¿Cuál es su consecuente? ((ψ→χ)→(ϕ→χ)). Así, si tenemos el teorema de la deducción (meta), si suponemos (ϕ→ψ) y podemos derivar ((ψ→χ)→(ϕ→χ)), podemos entonces utilizar el procedimiento de demostración esbozado por la prueba del teorema de la deducción para llegar a ((ϕ→ψ)→((ψ→χ)→(ϕ→χ)). Pero, ¿cómo obtenemos ((ψ→χ)→(ϕ→χ))? Pues bien, ¿cuál es la conectiva primaria de ((ψ→χ)→(ϕ→χ))? Un condicional. Entonces, ¿cuál es el antecedente? (ψ→χ). ¿Cuál es el consecuente? (ϕ→χ). Así, si podemos suponer (ψ→χ) y derivar (ϕ→χ), entonces podemos inferir ((ψ→χ)→(ϕ→χ)) por la regla derivable de introducción condicional, que se sigue del teorema de la deducción. Obsérvese que al intentar demostrar ((ψ→χ)→(ϕ→χ)), todavía teníamos la suposición (ϕ→ψ) en vigor. Cómo derivamos (ϕ→χ)? Bueno, ¿podríamos suponer el antecedente ϕ y deducir el consecuente χ? En otras palabras... ¿podemos hacer esto...?

  1 |   (ϕ→ψ) assumption
  2 ||  (ψ→χ) assumption
  3 ||| ϕ     assumption
  .
  .
  .
  x ||| χ     ?