Residuo de la función zeta (parcial) de Dedekind

Question

Si $$\rho_\nu := res_{s=1} \zeta_K,\nu(s)=lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_{K,\nu}(s)=\frac{2^r(2\pi)^s}{\omega_K |disc(\mathfrak(O)_K)|^{\frac{1}{2}}} \textrm{ (*)}$$

cómo puedo seguir eso

$$\rho := res_{s=1} \zeta_K(s) = \rho_{\nu} * h_K = lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_K(s) \textrm{ ?}$$

Primero las definiciones:

$h_K = $ el número de elementos en $mathscr{C}_K$ $\zeta_K(s) = \sum\limits_{\nu\in\mathscr{C}_K} \zeta_{K,\nu}(s)$ con $\mathscr{C}_K$ el grupo de clase ideal del campo numérico $K$ .
$\zeta_{K,\nu}(s)=\sum\limits_{I\in\nu}N(I)^{-s}$ , $N$ la norma absoluta.

Conozco la propiedad (*) y he visto la segunda propiedad en este documento: http://modular.math.washington.edu/129-05/final_papers/Gary_Sivek.pdf en el Teorema 2 de la página 3.

Si considero que $res_{s=1}\zeta_K(s)=\rho_\nu * h_K = lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_{K,\nu}(s) * h_K$ .
Pero no veo por qué $\zeta_{K,\nu}(s)*h_K$ debe ser $\zeta_K(s)$ .

Me encantaría que alguien me ayudara con ello.
Todo lo mejor, Luca

Answer 1

No es cierto que $h_K \zeta_{K, \nu}(s) = \zeta_K(s)$ .

Es es Sin embargo, es cierto que sus residuos son iguales. Esto es cierto porque $\zeta_K(s) = \sum_\nu \zeta_{K, \nu}(s)$ Cada uno de ellos $\zeta_{K, \nu}(s)$ tiene un residuo $\rho_\nu$ (que es independiente de $\nu$ mediante la fórmula ( $*$ )), y hay $h_K$ términos en la suma.