¿Cómo puedo resolver esta ecuación utilizando la reciprocidad cuadrática?
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación cuadrática $\bar{x}^{2} = \bar{2}$ tienen en $\mathbb{Z}_{47}$ ?
No tengo ni idea de cómo hacer esto entiendo que si están en el formato de símbolo legrendre por ejemplo. $$\big(\frac{2}{47}\big)$$ Sin embargo el cuadrado me confunde ¿puedo ponerlo en este formato?
Utilizando el "Ergänzungssatz" (suplemento) de reciprocidad cuadrática tenemos $$ \Big( \frac{2}{47}\Big) =(-1)^{\frac{47^2-1}{8}}=(-1)^{276}=1. $$ Esto dice que tenemos una solución. Desde $\mathbb{Z}/47$ es un campo, la ecuación $x^2=2$ tiene exactamente dos soluciones. En efecto, tenemos $(x^2-2)=(x+7)(x-7)$ en $\mathbb{Z}/47$ .
Recordemos que $2$ es un residuo cuadrático del primo impar $p$ si y sólo si $p\equiv \pm 1\pmod{8}$ .
Nuestro principal $47$ es congruente con $-1$ modulo $8$ Así que $2$ es un residuo cuadrático de $47$ . Así, $x^2\equiv 2\pmod{47}$ tiene al menos una solución.
Si $p$ es un primo impar, y $p$ no divide $a$ entonces la congruencia $x^2\equiv a\pmod{p}$ no tiene soluciones o tiene dos soluciones. Así que en nuestro caso hay dos soluciones.
Observación: Yo no llamaría a los hechos básicos sobre $(-1/p)$ o $(2/p)$ reciprocidad cuadrática.
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