Un (matemáticamente) el sonido de la estrategia de inversión

Question

Es común que la sabiduría en la comunidad de la inversión que un inversor a largo plazo de ahorro para su futuro harían bien en invertir en de alto riesgo/alto retorno de los activos cuando es joven, poco a poco cambiando su cartera a de bajo riesgo y bajo rendimiento de los activos a medida que crece la edad. Nunca he visto una demostración matemática de este, y estaría interesado en encontrar uno.

Esto no es, obviamente, un problema matemático, pero desde econ.stackexchange.com no existe, sin embargo, yo estoy pidiendo aquí.

Podríamos empezar a formular la pregunta a lo largo de las siguientes líneas: por cada año $t=0,1,\dots,T-1$ de su vida un inversor decide poner una porción de su riqueza total $W_t$ en un libre de riesgo de los bonos, devengando intereses a la tasa de $r$, o en un activo arriesgado cuyo retorno es una variable aleatoria con una media de $\mu>r$ y la varianza $\sigma^2$ (podríamos decir que es una variable aleatoria normal, por simplicidad). Digamos que en el momento $t$ invierte una fracción $\phi_t$ en los activos de riesgo y $1-\phi_t$ en el de bonos libres de riesgo.

Él también es capaz de invertir una cantidad adicional $P_t$ en su cartera en el tiempo $t$ (lo que viene, por ejemplo, a partir de su sueldo). Podríamos tomar a $P_t=P$ determinista, para empezar, y luego generalizar que no homogéneos o estocástico $P_t$.

Entonces la pregunta es: para un nivel dado de riesgo: ¿qué estrategia de $\{\phi_t\}$ maximiza su riqueza esperada en el tiempo $T$? Como proxy de la riqueza esperada y el nivel de riesgo, podríamos tomar a $E(W_T)$$\mathrm{Var}(W_T)$. Un enfoque común es introducir el multiplicador de Lagrange $\lambda$ y resolver las restricciones de optimización problema

$$\max_{\phi} \, E(W_T) - \lambda\mathrm{Var}(W_T)$$

para crear un óptimo la frontera' de estrategias en $(E(W_T), \mathrm{Var}(W_T))$ espacio, aunque esto no es necesariamente la mejor estrategia para resolver. No he tomado esta idea mucho más allá de esto, y daría la bienvenida a cualquier comentario o sugerencia.

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Ahora he dado a esto algún pensamiento adicional, y añadió mi progreso en una respuesta a continuación. Esto no es completa, aunque, y yo daría la bienvenida a la entrada de más!

Answer 1

Pensé acerca de este problema un poco hoy, y se han logrado algunos progresos. Esta no es una respuesta completa, pero puede ser de interés de todos modos.

Creo que un enfoque más sensato es tomar un continuum de aproximación. Para evitar la confusión que se llevará a $S_t$ a ser la cantidad de dinero que usted tiene en su cartera en el tiempo $t$, $\phi_t$ invertido en un activo pagando un arriesgado regreso con una media de $\mu$ y la volatilidad de los $\sigma$, e $1-\phi_t$ invertido en un libres de riesgo de los bonos el pago de regresar $r$. También asumo que usted paga una cantidad $p_t$ por unidad de tiempo en la cartera. A continuación, el proceso de cartera $S_t$ satisface

$$dS_t = p_t dt + (1-\phi_t) r S_t dt + \phi_t \mu S_t dt + \phi_t \sigma dW_t$$

donde $W_t$ es un estándar de movimiento Browniano, y los términos representan dinero pagado, los intereses de los bonos, el retorno de las acciones y la volatilidad de la bolsa de valores (el riesgo del término). La definición de

$$\Phi_{s,t} = \exp \left( \int_s^t (r + (\mu-r)\phi_u + \tfrac{1}{2} \sigma^2 \phi_u^2) du + \int_s^t \sigma \phi_u dW_u \right)$$

podemos escribir la solución para el valor de la cartera en el tiempo $t$

$$S_t = S_0\Phi_{0,t} + \int_0^t p_s \Phi_{s,t} ds $$

La pregunta ahora es cómo calcular la expectativa y la varianza de una cartera, como un funcional del proceso de asignación de activos $\phi_t$, y, a continuación, formular y resolver una de Euler-Lagrange ecuación de $\phi_t$.