¿Cuáles son los cocientes polinómicos $R/x$ y $R/(R/x)$ para $R = (\mathbb{R}[x]/x^n)$ ?

Question

Definir el cociente del anillo de polinomios $R = \mathbb{R}[x]/x^n$ . ¿Es correcto mi entendimiento de que

$$ R/x \cong \mathbb{R} $$

y en consecuencia, como escalares dividen todos los polinomios,

$$R/(R/x) \cong \{1\}$$

Si no es así, ¿cómo caracterizaría $R/x$ y $R/(R/x)$ ?

Answer 1

Prefiero utilizar la notación común de paréntesis para los ideales, es decir $R=\Bbb R[x]/(x^n)$ etc.

Estrictamente hablando, $x\notin R$ y por lo tanto $(x)$ es ni n ideal de $R$ . En lugar de $x$ deberíamos utilizar la imagen de $x$ (y elemento de $\Bbb R[x]$ ) bajo la proyección canónica a $R$ , es decir, la clase de residuos de $x$ o $x+(x^n)$ . Con estas advertencias, sí tenemos $$ R/(x+(x^n))\cong \Bbb R$$ por el homomorfismo obvio.

Sin embargo, no hay una buena manera de ver $R/(x+(x^n))$ como un ideal de $R$ (incluso a nivel de meros conjuntos, viendo los elementos de $R/(x+(x^n))$ como los polinomios constantes en $R$ o $\Bbb R[x]$ no es natural), por lo que no podemos hablar de un cociente $R/(R/(x+(x^n)))$ .