Tengo eso $f: (E,\theta)\rightarrow (\mathbb{R},|.|)$ una aplicación, si tenemos que para todos $\lambda\in \mathbb{R}$ los dos conjuntos $A=\{x\in E, f(x)<\lambda\}$ y $B=\{x\in E, f(x)>\lambda\}$ están abiertos.
¿Cómo demostrar que f es continua?
¿Puedo decir que $A=f^{-1}(]-\infty,\lambda[)$ y $B=f^{-1}(]\lambda,+\infty[)$ entonces la preimagen de un conjunto abierto es abierta por lo que $f$ es continua.
Pero por qué tenemos que usar los dos conjuntos $A$ y $B$ ?
Gracias
Dejemos que $U$ abrir en $(\mathbb{R},|\cdot|)$ . Si $U=\emptyset$ o $U=\mathbb{R}$ entonces un argumento directo muestra $f^{-1}(U)\in\theta$ .
Ahora, dejemos que $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$ . Si demostramos que $f^{-1}((a,b))\in\theta$ terminamos.
Pero $(a,b)=(-\infty,b)\cap(a,\infty)$ . Entonces $f^{-1}(a,b)=f^{-1}((-\infty,b)\cap(a,\infty))=f^{-1}((-\infty,b))\cap f^{-1}((a,\infty))$ .
Ahora, por hipótesis, ambos $f^{-1}((-\infty,b))$ y $f^{-1}((a,\infty))$ son abiertos, y como la intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, $f^{-1}(a,b)$ está abierto.
El sistema $\mathcal S=\{(-\infty,b), (a,\infty); a,b\in\mathbb R\}$ es un subbase para la topología euclidiana habitual en $\mathbb R$ . (Esto significa que todos los elementos de $\mathcal S$ son abiertos y si se toman las intersecciones de elementos finitamente medios de $\mathcal S$ , se obtiene una base. Y, efectivamente, tales intersecciones son en este caso precisamente los intervalos abiertos o el conjunto vacío).
En general tenemos lo siguiente:
Dejemos que $X$ , $Y$ sea un espacio topológico, $f\colon X\to Y$ sea una función y $\mathcal S$ sea una subbase para el $Y$ . La función $f$ es continua si y sólo si $f^{-1}(U)$ está abierto para cada $U\in\mathcal S$ .
La prueba de este hecho no es difícil.
Prueba. $\boxed{\Rightarrow}$ Esta implicación es clara, ya que los conjuntos de $\mathcal S$ están abiertos.
$\boxed{\Leftarrow}$ Dejemos que $\mathcal B$ sea el sistema de todas las intersecciones finitas de conjuntos de $\mathcal S$ . Si $B\in\mathcal B$ entonces $B$ tiene la forma $$B=\bigcap_{i=1}^n U_i$$ para algunos $U_i\in\mathcal S$ , $i=1,\dots,n$ . Desde $$f^{-1}[B]=\bigcap_{i=1}^n f^{-1}[U_i],$$ conseguimos que $f^{-1}[B]$ está abierto para cada $B\in\mathcal B$ .
Ahora sabemos que las preimágenes de todos los conjuntos básicos son abiertas. También sabemos que los conjuntos abiertos son precisamente uniones de conjuntos de $\mathcal B$ . Así que si $$O=\bigcup_{i\in I} B_i$$ para algunos $\{B_i; i\in I\}\subseteq\mathcal B$ entonces vemos que $$f^{-1}[O]=\bigcup_{i\in I} f^{-1}[B_i]$$ está abierto. $\square$
En la demostración anterior hemos utilizado el hecho de que las preimágenes preservan las uniones e intersecciones. Véase, por ejemplo: Resumen de los resultados básicos sobre imágenes y preimágenes , ¿Cuáles son las estrategias que puedo utilizar para demostrar $f^{-1}(S \cap T) = f^{-1}(S) \cap f^{-1}(T)$ ? , Unión de preimágenes y preimagen de unión (y algunos otros puestos.)
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