Tengo eso f:(E,θ)→(R,|.|) una aplicación, si tenemos que para todos λ∈R los dos conjuntos A={x∈E,f(x)<λ} y B={x∈E,f(x)>λ} están abiertos.
¿Cómo demostrar que f es continua?
¿Puedo decir que A=f−1(]−∞,λ[) y B=f−1(]λ,+∞[) entonces la preimagen de un conjunto abierto es abierta por lo que f es continua.
Pero por qué tenemos que usar los dos conjuntos A y B ?
Gracias
Dejemos que U abrir en (R,|⋅|) . Si U=∅ o U=R entonces un argumento directo muestra f−1(U)∈θ .
Ahora, dejemos que (a,b)⊆R . Si demostramos que f−1((a,b))∈θ terminamos.
Pero (a,b)=(−∞,b)∩(a,∞) . Entonces f−1(a,b)=f−1((−∞,b)∩(a,∞))=f−1((−∞,b))∩f−1((a,∞)) .
Ahora, por hipótesis, ambos f−1((−∞,b)) y f−1((a,∞)) son abiertos, y como la intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, f−1(a,b) está abierto.
El sistema S={(−∞,b),(a,∞);a,b∈R} es un subbase para la topología euclidiana habitual en R . (Esto significa que todos los elementos de S son abiertos y si se toman las intersecciones de elementos finitamente medios de S , se obtiene una base. Y, efectivamente, tales intersecciones son en este caso precisamente los intervalos abiertos o el conjunto vacío).
En general tenemos lo siguiente:
Dejemos que X , Y sea un espacio topológico, f:X→Y sea una función y S sea una subbase para el Y . La función f es continua si y sólo si f−1(U) está abierto para cada U∈S .
La prueba de este hecho no es difícil.
Prueba. ⇒ Esta implicación es clara, ya que los conjuntos de S están abiertos.
⇐ Dejemos que B sea el sistema de todas las intersecciones finitas de conjuntos de S . Si B∈B entonces B tiene la forma B=n⋂i=1Ui para algunos Ui∈S , i=1,…,n . Desde f−1[B]=n⋂i=1f−1[Ui], conseguimos que f−1[B] está abierto para cada B∈B .
Ahora sabemos que las preimágenes de todos los conjuntos básicos son abiertas. También sabemos que los conjuntos abiertos son precisamente uniones de conjuntos de B . Así que si O=⋃i∈IBi para algunos {Bi;i∈I}⊆B entonces vemos que f−1[O]=⋃i∈If−1[Bi] está abierto. ◻
En la demostración anterior hemos utilizado el hecho de que las preimágenes preservan las uniones e intersecciones. Véase, por ejemplo: Resumen de los resultados básicos sobre imágenes y preimágenes , ¿Cuáles son las estrategias que puedo utilizar para demostrar f−1(S∩T)=f−1(S)∩f−1(T) ? , Unión de preimágenes y preimagen de unión (y algunos otros puestos.)
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