Elementos irreductibles y dominio de factorización único

Question

Dejemos que $P=\{\frac{a}{3^n} : a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}$ .

a) ¿Qué elementos son irreducibles en $P$ : 4, 5, 6, 9, 10, 15?

b) Averigua cuál de los anillos: $ P$ , $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$ , $P[x]$ es un dominio de factorización único.

Mi opinión para a) es 4 y 10. Podría darme alguna pista para b)?

Answer 1

A) $4=\frac{2}{1}\cdot\frac21$ y de forma similar para $10$ . En el otro lado, $5$ es irreducible, $6=\frac21\cdot\frac31$ y $\frac31$ es invertible en $P$ Así que $6$ también es irreducible, y de forma similar para $15$ . Sigue siendo $9=3^2$ que es invertible en $P$ .

b) $P$ es un UFD como anillo de fracciones de un UFD; véase aquí . También tenemos que $P[x]$ es un UFD; véase aquí .