Dejemos que $M$ , $N$ sean variedades lisas compactas no discretas conectadas. ¿Puede el anillo de funciones continuas sobre $M$ sea isomorfo al anillo de funciones suaves sobre $N$ ?
Respuestas
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No. Tanto en el anillo de funciones lisas como en el de funciones continuas un ideal maximal $\frak m$ consiste en las funciones que desaparecen en algún punto. En el caso suave $\frak m/\frak m^2$ es el espacio cotangente de la variedad en ese punto, mientras que en el caso continuo $\frak m^2=\frak m$ .
Vetle
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He aquí una prueba diferente que quizá aclare un aspecto distinto de la situación. El anillo $C(X)$ de funciones continuas sobre un espacio compacto de Hausdorff, como anillo abstracto, conoce realmente su $C^{\ast}$ -(la norma sup). Lo conseguimos mediante la siguiente secuencia de pasos:
- En primer lugar, como anillo abstracto podemos recuperar la copia de $\mathbb{Q}$ en su interior (las funciones constantes de valor racional) a partir de la copia de $\mathbb{Z}$ en su interior.
- A continuación, definimos un orden parcial en $C(X)$ donde $f \le g$ si existe $h$ tal que $f + h^2 = g$ . Consideremos el conjunto de funciones $r$ con la propiedad de que para cualquier $\varepsilon > 0$ existe $p, q \in \mathbb{Q}$ tal que $|p - q| \le \varepsilon$ y $p \le r \le q$ . Esto recupera precisamente la copia de $\mathbb{R}$ dentro de $C(X)$ (las funciones constantes). Así que $C(X)$ como anillo abstracto conoce su $\mathbb{R}$ -estructura de álgebra.
- A continuación, dada la $\mathbb{R}$ -podemos definir el espectro $\sigma(f) = \{ \lambda \in \mathbb{R} : f - \lambda \text{ is not invertible} \}$ Esto recupera la imagen de $f$ y, por tanto, la norma espectral $\| f \| = \sup_{\lambda \in \sigma(f)} | \lambda |$ recupera la norma sup de $f$ .
Esta construcción funciona y produce el mismo resultado (la norma sup) para el anillo $C^{\infty}(M)$ de funciones suaves sobre una variedad compacta y suave (por lo que este anillo, como anillo abstracto, también conoce su norma sup). (Edición: como observa Tobias Fritz, en el caso suave la relación anterior ya no es transitiva. Sin embargo, no necesitamos la transitividad, así que ni siquiera necesito decir "orden parcial" arriba, sólo "relación"). Ahora podemos distinguirlas: $C(X)$ es siempre completa con respecto a esta norma, mientras que $C^{\infty}(M)$ nunca lo es (ya que su terminación son las funciones continuas) a menos que $M$ es discreto.
Esto es notablemente más complicado que las respuestas existentes, pero creo que es bueno que 1) evitamos la clasificación de los ideales máximos, y en relación con 2) este argumento funciona en más generalidad: es una adaptación de la prueba clásica de que $\mathbb{R}$ no tiene automorfismos no triviales (y se especializa con esa afirmación), y también identifica con éxito la copia de $\mathbb{R}$ dentro, por ejemplo, $\mathbb{R}[x]$ .
apg
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En esta respuesta, vamos a suponer que todas las funciones son de valor real. En el anillo de funciones continuas, las siguientes son equivalentes:
-
$f\geq 0$
-
hay algo de $g$ con $g^2=f$ .
-
Para cada $n>0$ Hay un poco de $g$ con $g^{2n}=f$ .
Además, en el anillo de funciones continuas, para todo $n\geq 0$ y $f$ Hay un $g$ con $g^{2n+1}=f$ .
Está claro que no es el caso de las funciones suaves, ya que $\sqrt[3]{x^2}$ y $\sqrt{|x|}=\sqrt[4]{x^2}$ no son suaves.
Mat
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Otra forma conceptualmente interesante de ver que la respuesta es negativa es hacer las siguientes observaciones (relacionadas con las de Tom Goodwillie respuesta ):
- Para cualquier espacio topológico $X$ el álgebra de las funciones continuas de valor real sobre $X$ no tiene derivaciones no nulas .
- Por otro lado, las derivaciones sobre $C^\infty(M)$ para un colector $M$ corresponden a los campos vectoriales en $M$ .
Ahora se deduce que no hay $\mathbb{R}$ -algebra isomorfismo $C(X) \cong C^\infty(M)$ para cualquier espacio $X$ y cualquier colector no discreto $M$ al constatar que dicha $M$ tiene campos vectoriales no nulos.
Para demostrar que no existe ni siquiera un isomorfismo de anillos, basta con mostrar para caracterizar el $\mathbb{R}$ -estructura de álgebra en ambos $C(X)$ y $C^\infty(M)$ en términos puramente teóricos de anillos. Véase la obra de Qiaochu Yuan respuesta para saber cómo hacerlo en el caso de $C(X)$ . Para $C^\infty(M)$ se puede proceder exactamente igual, con la pequeña diferencia de que hay que poner $f \le g$ si existe un número finito de $h_1,\ldots,h_n$ tal que $f + \sum_i h_i^2 = g$ . Permitir sumas de cuadrados allí es relevante para mostrar que $\le$ es transitivo, pero no es necesario para $C(X)$ ya que allí siempre se puede tomar $h := \sqrt{\sum_i h_i^2}$ .
