Extensión de la función armónica en el infinito

Question

¿Puede una función armónica definida en el semiplano superior (o en cualquier dominio no acotado) extenderse al punto del infinito? Si es así, bajo qué condición. ¿Qué ocurre entonces con la propiedad del valor medio? ¿Seguimos obteniendo una representación integral de algún tipo? Por favor, sugiera una referencia.

Gracias.

Answer 1

Simplemente toma (x,y)->y. Esto es armónico, pero sin límites en el infinito.

Sin embargo, cualquier función armónica positiva h en el semiplano superior puede obtenerse integrando el núcleo de Poisson con respecto a alguna medida finita en la frontera del semiplano superior (teorema de representación de Riesz-Herglotz). Así que se puede decir que existe una extensión de h a la frontera en ese caso, y esta extensión es una medida positiva finita.

Answer 2

Se tiene este tipo de representaciones para las funciones de Herglotz bajo ciertas condiciones de crecimiento. Herglotz significa aquí que la función mapea el semiplano superior en el semiplano superior.

Esto se puede encontrar, por ejemplo, en el libro de teoría espectral de Teschl ( http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/libro-schroe/index.html ). La sección 3.4. parece ser la pertinente.

Por supuesto, estos teoremas necesitan una condición de crecimiento. Para ese libro, por ejemplo $|F(z)| \leq \frac{M}{im(z)}$ para alguna constante $M > 0$ . Pero creo que se puede extender esto a algún crecimiento moderado en el infinito. Por ejemplo $|F(z)| = O(\sqrt{|z|})$ como $z\to\infty$ está bien.