Encontrar un mínimo común múltiplo (LCM)

Question

Mi libro de Álgebra 2 explica cómo encontrar un mínimo común múltiplo:

Encuentra el mínimo común múltiplo de $4x^2 - 16$ y $6x^2 - 24x + 24$ .

Solución

Paso 1 Factor cada polinomio. Escribe los factores numéricos como productos de primos.

$4x^2 - 16 = 4(x^2 - 4) = (2^2)(x + 2)(x - 2)$ $6x^2 - 24x + 24 = 6(x^2 - 4x + 4) = (2)(3)(x-2)^2$

Paso 2 Formulario el LCM escribiendo cada factor a la mayor potencia que aparece en cualquiera de los polinomios.

LCM = $(2^2)(3)(x + 2)(x - 2)^2 = 12(x + 2)(x - 2)^2$

No entiendo su redacción, y no quiero seguir con el resto de mi tarea que incluye encontrar los mínimos comunes denominadores hasta que sepa cómo hacerlo correctamente, en lugar de volver a hacerlo cuando descubra que lo estoy haciendo mal.

Answer 1

Es una forma extraña de decirlo. $$\mathrm{lcm}(P(x),Q(x)) = \frac{P(x)\cdot Q(x)}{\gcd(P(x),Q(x))}$$

Donde $$\gcd(P(x),Q(x))$$ es sólo el producto de los términos que aparecen en ambas factorizaciones.

Por ejemplo $$\mathrm{lcm}(((x+1)(x+1)(x-1)),((x+1)(x-1)(x-1)))=\frac{(x+1)^3(x-1)^3}{(x+1)(x-1)}=(x+1)^2(x-1)^2$$

Answer 2

Funciona igual que con los enteros. Si quieres encontrar el LCM de $84=2^2\cdot 3 \cdot 7$ y $90=2\cdot 3^2 \cdot 5$ se recoge la potencia más alta de cada primo, obteniendo $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 1260$ El LCM tiene que incorporar todos los factores polinómicos a la potencia más alta en cualquiera de las cosas de las que estás tomando el LCM.