¿Por qué el espacio dual formado por clases de equivalencia unitarias de representaciones irreducibles de compactas $G$ no formar un grupo?

Question

Estoy tratando de entender representaciones unitarias de grupos compactos $G$ . Equipa la clase de todas las representaciones irreducibles unitarias de $G$ con la relación de equivalencia habitual, la equivalencia unitaria. Definimos el espacio dual como el conjunto de clases de equivalencia con respecto a esta relación. El espacio dual no puede formar nunca un grupo. Me gustaría comprobar que mi razonamiento sobre por qué esto es cierto es correcto. Este es mi razonamiento:

Podemos intentar dotar a este conjunto de una operación binaria $[\pi][\pi']:=[\pi\cdot\pi']$ donde $(\pi\cdot\pi')(x)=\pi(x)\cdot\pi'(x)$ . Entonces esta operación es la multiplicación puntual de representaciones irreducibles (que son sólo homomorfismos de grupo). $\textbf{But}$ Las representaciones irreducibles de los grupos compactos son de dimensión finita, por lo que pueden expresarse como matrices cuadradas, por ejemplo

$\pi(x)=n\times n$ matriz, $\pi'(x)=m\times m$ matriz. Entonces la multiplicación puntual (y de hecho la multiplicación matricial regular) no puede definirse a menos que $n=m$ . Sin embargo, en general el espacio dual tendrá representaciones de diferentes dimensiones, por lo que no podemos definir una operación binaria sensata sobre ellas.

Esto contrasta con la $\textit{dual group}$ para grupos abelianos localmente compactos, porque los irreducibles son sólo homomorfismos continuos en $\mathbb{C}$ y, por lo tanto, se puede dotar de una multiplicación puntual para dar una estructura de grupo.

$\textbf{One question}$ me viene a la mente: ¿cómo sabemos que no hay otras operaciones binarias que se nos ocurran, que darían al espacio dual una estructura de grupo?

Answer 1

Las clases de representaciones irreducibles de un grupo compacto forman un conjunto. Así que, por supuesto, hay estructuras de grupo que se pueden poner en él. La pregunta relevante es por qué no hay intuitivo o razonable estructuras de grupo en él.

Haces una pregunta suave, y la respuesta parece ser "Nadie ha dado con una". ¿Qué operaciones puedes hacer con dos representaciones irreducibles $\pi$ y $\pi'$ para obtener otra representación irreducible? No se me ocurre ninguna que produzca una estructura de grupo.