Estoy tratando de entender representaciones unitarias de grupos compactos $G$ . Equipa la clase de todas las representaciones irreducibles unitarias de $G$ con la relación de equivalencia habitual, la equivalencia unitaria. Definimos el espacio dual como el conjunto de clases de equivalencia con respecto a esta relación. El espacio dual no puede formar nunca un grupo. Me gustaría comprobar que mi razonamiento sobre por qué esto es cierto es correcto. Este es mi razonamiento:
Podemos intentar dotar a este conjunto de una operación binaria $[\pi][\pi']:=[\pi\cdot\pi']$ donde $(\pi\cdot\pi')(x)=\pi(x)\cdot\pi'(x)$ . Entonces esta operación es la multiplicación puntual de representaciones irreducibles (que son sólo homomorfismos de grupo). $\textbf{But}$ Las representaciones irreducibles de los grupos compactos son de dimensión finita, por lo que pueden expresarse como matrices cuadradas, por ejemplo
$\pi(x)=n\times n$ matriz, $\pi'(x)=m\times m$ matriz. Entonces la multiplicación puntual (y de hecho la multiplicación matricial regular) no puede definirse a menos que $n=m$ . Sin embargo, en general el espacio dual tendrá representaciones de diferentes dimensiones, por lo que no podemos definir una operación binaria sensata sobre ellas.
Esto contrasta con la $\textit{dual group}$ para grupos abelianos localmente compactos, porque los irreducibles son sólo homomorfismos continuos en $\mathbb{C}$ y, por lo tanto, se puede dotar de una multiplicación puntual para dar una estructura de grupo.
$\textbf{One question}$ me viene a la mente: ¿cómo sabemos que no hay otras operaciones binarias que se nos ocurran, que darían al espacio dual una estructura de grupo?
