Demostrar que $PA$ tiene un modelo $M$ con un elemento $m$ , de tal manera que $M\models q\mid m$ para siempre $q\in Q$ y $M\models \neg q\mid m$ por cada $q\in Q-P$

Question

Dejemos que $P\subseteq \mathbb{N}$ sea el conjunto de los primos, y supongamos $Q\subseteq P$ es algún subconjunto. Demostrar que $PA$ tiene un modelo $M$ con un elemento $m$ , de tal manera que $M\models q\mid m$ para siempre $q\in Q$ y $M\models \neg p\mid m$ por cada $p\in Q-P$

PA es Axiomas de Peano.

Así que creo que quiero $\Gamma:= PA\cup \{q\mid m: q\in Q\}$

Entonces, tomando cualquier subteoría de $\Gamma$ Tengo un conjunto finito de $\{q_1\mid m, q_2\mid m,...,q_k\mid m\}$

Que entiendo que pueden ser tomados como factores primos de algunos $m$ , pero no hay un $m$ que es el producto de infinitos primos. Lo que hace pensar que no puede haber un único $m$ que satisface cualquier subconjunto finito.

Answer 1

Añadir un símbolo de constante $c$ el lenguaje y considerar la teoría que consiste en PA más $$\{\mathbf q\mid c:q\in Q\}\cup\{\mathbf p\not\mid c:p\in P-Q\}$$ donde la negrita denota el numeral (para que quede claro en qué idioma estamos y que no estamos mezclando sintaxis y semántica).

Esta teoría es finitamente satisfacible: utilice la interpretación habitual en los naturales e interprete $c$ como el producto de todos los $q\in Q$ tal que $\mathbf q\mid c$ aparece en la subteoría finita considerada.

Así, por el teorema de la compacidad, la teoría tiene un modelo. Entonces dejemos que $m$ sea la interpretación de $c$ en ese modelo.