Girando el anillo de polinomios, $\mathbb{F}[\lambda]$ en un módulo.

Question

Módulos asociados a un operador lineal. Supongamos que $\mathbb{F}$ es un campo y $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$ ( es decir, un $\mathbb{F}$ -). Sea $T:V\rightarrow V$ sea un operador lineal sobre $V$ (es decir, un $\mathbb{F}$ -módulo homomorfismo). Sea $\mathbb{F}[\lambda]$ sea el anillo de polinomios sobre $\mathbb{F}$ . Para \begin{equation*} f(\lambda)=a_n\lambda^n+....+a_0\in \mathbb{F}[\lambda] \end{equation*} definimos \begin{equation*} f(T)=a_nT^n+...+a_1T+a_0I. \end{equation*} Podemos hacer $V$ en un $\mathbb{F}[\lambda]$ -módulo que utiliza $T$ definiendo la acción de $f(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]$ para ser \begin{equation*} f(\lambda)T\cdot v:= f(T)v=a_nT^n(v)+...+a_1T(v)+a_0I(v) \end{equation*} Llamamos $V$ el $\mathbb{F}[\lambda]$ -asociado al operador lineal $T$ .

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Este es un concepto que se ha introducido en mi tarea. No fue algo explorado en clase. Mis preguntas con respecto a lo anterior son las siguientes:

• Hasta ahora, las acciones de Rings on Modules que me han enseñado se parecen principalmente a la multiplicación escalar del álgebra lineal. Por el aspecto de esta definición, supongo que es justo decir que las acciones pueden ser mucho más variadas que esto?
• Si una acción de $R$ es un mapa $M\times R\rightarrow M$ . ¿Cómo es una acción? ¿Es $f(T)$ un elemento de $\mathbb{F}[\lambda]$ ?
• Es $T^n$ sólo la composición de $T$ con ella misma $n$ ¿tiempo?
• Es $I$ ¿sólo un mapa de identidad? es decir, ¿I(v)=v?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Para responder a sus preguntas por orden:

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• Los módulos pueden tener una estructura mucho más variada que los espacios vectoriales.

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• Para definir la multiplicación del módulo $R \times M \to M$ en su ejemplo, tomamos nuestro anillo $R$ para ser $\mathbb{F}[\lambda]$ . La definición del acción es lo que trae $T$ en la imagen. Definimos la acción $f\cdot v :=f(T)(v)$ donde observamos que $f(T)$ es una transformación lineal en sí misma.

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• Sí, la notación $T^n$ significa $T\circ T\circ\dots\circ T$ un total de $n$ tiempos.

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• Sí, el $I$ en la definición es la transformación lineal de identidad en $V$ .

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Para dar un ejemplo concreto, tomemos $V = \mathbb{R}^2$ y

$$T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.$$

Si $f(\lambda) = \lambda^2 + 2$ entonces tenemos

$$f\cdot\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix} = \left(\begin{bmatrix} 1&1\\0&1\end{bmatrix}^2 + \begin{bmatrix} 2&0\\0&2\end{bmatrix}\right)\cdot \begin{bmatrix} 1 \\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3&2\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\0\end{bmatrix}.$$