Lo que quiero probar: Supongamos que $\lambda \in (-\pi,\pi]$ son las frecuencias naturales en el momento $n$ . Entonces, para cada $\lambda_j$ definir un vector $e_j^n = \frac{1}{\sqrt{n}} \left(e^{i \lambda_j},e^{2i\lambda_j},\ldots,e^{ni\lambda_j}\right)^T$ . El $n$ forman una base ortonormal para $\mathbb{C}^n$ .
$n$ puntos se denominan frecuencias naturales en el tiempo $n$ : $x_1,\ldots,x_n = \ldots,-\frac{4 \pi}{n}, - \frac{2 \pi}{n},0, \frac{2\pi}{n},\frac{4 \pi}{n},\ldots \subset (-\pi,\pi]$ . (El valor 0 es siempre una frecuencia natural; para impar $n$ hay $(n1)/2$ frecuencias naturales positivas y negativas, situadas simétricamente alrededor de 0; para las $n$ el valor $\pi$ es una frecuencia natural, y el las restantes frecuencias naturales son $n/2 1$ puntos en $(0, \pi)$ y sus reflexiones).
Mi intento: Supongamos que $j \neq k$ entonces \begin{align*} \langle e_j^n,e_k^n \rangle &= \frac1n \langle e^{i \lambda_j},e^{2i\lambda_j},\ldots, e^{ni\lambda_j} ; e^{i \lambda_k},e^{2i\lambda_k},\ldots, e^{ni\lambda_k} \rangle \\ &= \frac1n \left( e^{i(\lambda_j + \lambda_k)}+\cdots + e^{ni(\lambda_j + \lambda_k)}\right). \end{align*} ¿Cómo es este cero? Y cómo es la longitud de cada $e^n_j$ uno como $$ ||e^n_j|| = \langle e^n_j ; e^n_j \rangle = \frac1n \left( e^{2i \lambda_j} + \cdots +e^{2i n \lambda_j} \right).$$ Y por último, ¿cómo se extienden estos vectores $\mathbb{C}^n$ ? Gracias por cualquier ayuda.
