¿Todo espacio vectorial tiene un producto interior?

Question

Tengo una pregunta: ¿Todo espacio vectorial tiene un producto interior?

Creo que sí. Pero no he podido encontrar una razón esencial. Si no existe, dame un contraejemplo. Gracias.

Answer 1

Tome un espacio vectorial $X$ en $\mathbb R$ (o $\mathbb C$ ) y fijar una base $\{v_i\}_{i\in I}$ .

Si $x,y\in X$ entonces se pueden expresar de forma única como $$ x=\sum_{i\in I}c_iv_i,\quad y=\sum_{i\in I}d_iv_i, $$ con cada una de las sumas anteriores finitas.

Definir $$\langle u,v\rangle=\sum_{i\in I}c_id_i. $$ Se trata de un producto interno en $X$ .

En el caso de $\mathbb C$ la definición es $$\langle u,v\rangle=\sum_{i\in I}c_i\overline{d_i}. $$

Answer 2

Los productos internos se definen para espacios sobre $\mathbb{R}$ o sobre $\mathbb{C}$ sólo.

La razón es que en la definición requerimos $$\langle u,v \rangle=\overline{\langle v,u\rangle}$$

y cuál es el significado de $$\overline{\langle v,u\rangle}$$

cuando $\langle v,u \rangle$ ¿no es complejo?