Proceso de Poisson -- problema de la expectativa condicional

Question

Dejemos que ${N_t}$ sea un proceso de Poisson homogéneo con tasa $\lambda$ .
Las variables aleatorias $$X_i = N_{t_i} - N_{t_{i-1}}$$ son independientes con distribuciones marginales $X_i$ ~ Poisson( $\lambda(t_i - t_{i-1}))$ .

Encuentra: $$E(N_s|N_t)$$ y $$E(N_t|N_s)$$ para $s < t$ .

Answer 1

Desde $s\leq t$ tenemos que $N_s$ es $N_t$ -medible, por lo tanto $\Bbb E [N_s \vert N_t] = N_s$ . Más información: $N_t - N_s$ es independiente de $N_s$ . Por lo tanto, $$\Bbb E [N_t \vert N_s] = \Bbb E [ N_t - N_s \vert N_s] + \Bbb E[N_s \vert N_s]= \Bbb E [N_t - N_s] + N_s\\ = \lambda(t-s) + N_s ,$$ desde $N_t - N_s \sim$ Poi $(\lambda (t-s)).$