He demostrado que $e^x > x^3$ para $x>5$ ¿Puedo demostrar que $\lim \frac{x^3}{e^x} = 0$ ?

Question

Para calcular el límite $$\lim_{x\to\infty} \frac{x^3}{e^x} = 0$$ Lo he comprobado:

$$f(x) = e^x-x^3\\f'(x) = e^x-3x^2\\f''(x) = e^x-6x\\f'''(x) = e^x-6$$

Tenga en cuenta que $x>3 \implies f'''(x)>0$ Por lo tanto $f''(x)$ es la media luna. Entonces, encuentro que $x = 3 \implies e^3-6\cdot3 >0$ . Entonces, $x>3 \implies f'(x)$ es la media luna. Sólo tengo que encontrar un $x$ para $f'(x)$ tal que $f'(x)>0$ entonces $f$ será de media luna. Sucede que $x=4 \implies f'(x)>0$ . Entonces, $x>4 \implies f(x)>0$ . Pero para $x = 5$ , $f(x)>0$ y $f$ es la media luna, entonces:

$$x>5 \implies e^x-x^3>0\implies e^x>x^3$$

Por lo tanto, algunos límites se pueden calcular fácilmente, como:

$$x>5 \implies e^x>x^3\implies\lim_{x\to\infty}e^x>\lim_{x\to\infty}x^3 = \infty$$

Pero para el límite que quiero, tenemos:

$$x>5 \implies e^x>x^3\implies 1>\frac{x^3}{e^x}\implies \frac{x^3}{e^x}<1$$

Por lo tanto, no puedo demostrar simplemente que este límite es igual a $0$ sólo por esta desigualdad.

¿Alguna idea?

Answer 1

Pista: demuestre que $e^x > x^4$ para $x$ suficientemente grande. Entonces $\frac{x^3}{e^x}<\frac1x$ .

Answer 2

$$f(x)=e^x-x^3=>f'(x)=e^x-3x^2=>f''(x)=e^x-6x=>f'''(x)=e^x-6$$ Ahora $f'''(x)\gt 0$ para $x\gt3$ . Por lo tanto, $f''(x)$ es cóncavo después de $x\gt3$ . Del mismo modo, como ha mostrado $f'(x)\gt 0$ para $x\gt4$ . Por lo tanto, se ve que la pendiente de $f(x)$ es decir.., $f'(x)$ aumenta sin límites después de $x\gt 4$ . Así, en $x=\infty$ , pendiente $=\infty$ . Esto significa gráficamente que cuando x es muy grande, $e^x\gt\gt\gt x^3$ . Por lo tanto, $$lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x}=0$$

Answer 3

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \dots} = \frac 01 = 0$$

Y

$$\begin{align}\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x} &= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!+\dots} \\&= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{-3} + x^{-2} + x^{-1}/2! + 1/3! + x/4!+\dots} \\&= \frac{1}{\infty} \\&= 0 \end{align}$$

Answer 4

De la regla de L'Hospital ( $x\rightarrow\infty$ ): $$\lim\frac{x^3}{e^x}=\lim\frac{3x^2}{e^x}=\lim\frac{6x}{e^x}=\lim\frac{6}{e^x}=0$$

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Tal vez por el teorema del apretón (si no puedes usar L'Hospital).

Si $x\rightarrow \infty$ entonces $x^3>1$ . Así que $\frac{x^3}{e^x}\ge \frac{1}{e^x}$

Si $x\rightarrow \infty$ entonces $e^x \ge x^5$ (similar a su prueba)

$$\frac{x^3}{x^5}\ge\frac{x^3}{e^x}\ge \frac{1}{e^x}$$

Answer 5

Esta es otra forma de mostrar $\lim_{x \to infty}\frac{x^3}{e^x} = 0$ suponiendo que dicho límite exista, lo que se puede demostrar una vez que se establezca $\frac{x^3}{e^x}$ es positivo y decreciente para $x > 1.$

Supongamos que $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x} = L.$ ahora reemplazar $x$ por $2x$ límite debe seguir siendo el mismo, es decir, $L = \lim_{x \to \infty}\frac{8x^3}{(e^x)^2} = 8L\lim_{x \to \infty}\frac{1}{e^x} = 0.$