Cualquier afín algebraica de grupo es lineal.

Question

Es bien conocido el resultado de que cualquier afín algebraica de grupo es un subgrupo cerrado de algunos $\mathrm{Gl}_n(\Bbbk)$. Sin embargo, me gustaría ver una prueba de ello, así que lo he buscado en varios libros, más precisamente en

• Procesi, Mentira Grupos - Un Enfoque a través de Invariantes y las Representaciones, el teorema en la página 172
• Borel, Algebraicas Lineales Grupos, 2ª Edición, la Proposición 1.10
• Alexander H. W. Schmitt, Geométricas Invariantes Teoría y Decorado Principal de Paquetes, el Teorema de 1.1.3.3

La prueba es siempre más o menos lo mismo y siempre carece de un argumento importante (en mi opinión). Permítanme darles una visión rápida:

Si $\mu:G\times G\to G$ indica la multiplicación de morfismos y $\Bbbk[G]=\Bbbk[f_1,\ldots,f_n]$, entonces podemos asumir que el $f_i$ span una $G$-subespacio invariante $V\subseteq\Bbbk[G]$. Uno puede mostrar que la comorphism $\mu^\sharp:\Bbbk[G]\to\Bbbk[G]\otimes\Bbbk[G]$ mapas de $V$ a $\Bbbk[G]\otimes V$ y por lo tanto, $$ \mu^\sharp(f_i) = \sum_{j=1}^n \psi_{ij} \otimes f_j $$ por cierto $\psi_{ij}\in\Bbbk[G]$. Uno, a continuación, asigna $g$ a la matriz $\Psi_g$ entradas $\psi_{ij}(g)$.

Ahora mi pregunta es: ¿por Qué es este un homomorphism de grupos?

Puedo decirte lo que he hecho hasta ahora. Uno puede considerar que el triple de la multiplicación de morfismos $\nu:G\times G\times G\to G$ que es sólo $\nu:=\mu\circ(\mathrm{id}\times\mu)$, por lo que tenemos $$\begin{align*} \nu^\sharp(f_i) &= (\mathrm{id}\times\mu)^\sharp\left(\sum\nolimits_{j=1}^n \psi_{ij} \otimes f_j\right) = \sum_{j=1}^n \psi_{ij} \otimes \mu^\sharp(f_j) \\ &= \sum_{j=1}^n \psi_{ij} \otimes \sum_{k=1}^n \psi_{jk} \otimes f_k = \sum_{k=1}^n \left(\sum\nolimits_{j=1}^n \psi_{ij} \otimes \psi_{jk}\right) \otimes f_k \end{align*}$$ así $f_i(abc) = \sum_{k=1}^n (\Psi_a\Psi_b)_{ik} \cdot f_k(c)$. Por el contrario, también podemos entender $abc$ como el producto de la $ab$$c$, por lo que $$\begin{align*} \sum_{k=1}^n (\Psi_a\Psi_b)_{ik} \cdot f_k(c) = f_j(abc) &= \sum_{k=1}^n (\Psi_{ab})_{ik} \cdot f_k(c). \end{align*}$$ Ahora, lo que necesitamos son elementos $c_j\in Z(f_k\mid k\ne j)\setminus Z(f_j)$ que $\Psi_a\Psi_b=\Psi_{ab}$. Tengo una vaga sensación de que $f_j$ no puede ser contenida en $(f_k\mid k\ne j)$ porque $G$ actúa linealmente en $V$, pero por alguna razón estoy atascado. Así que mi pregunta es:

• Se puede terminar de mi prueba, es decir, mostrar que $Z(f_k\mid k\ne j)\setminus Z(f_j)\ne \emptyset$ o, equivalentemente, $f_j\notin(f_k\mid k\ne j)$?
• Si no, se puede dar una alternativa a prueba?

Answer 1

Bueno, creo que la idea es esta. ¿Qué significa para encontrar un inyectiva homomorphism $G\to \operatorname{GL}(W)$? Que significa encontrar una fiel representación de la $W$$G$. De alguna manera, la intuición me dice que el $V$ usted está hablando es de la derecha $W$, debido a que es atravesado por elementos que describen bien $G$.

De hecho, este es el correcto: si un elemento $g$ corrige $V$, corrige todos los de $k[G]$, por lo tanto debe ser la identidad. Así que tenemos un inyectiva homomorphism (de los grupos, no se habla de estructura algebraica aún)

$$\rho:G\to \operatorname{GL}(V)$$

Ahora, lo que los coeficientes de hacer las matrices de $\rho$? Así, podemos suponer que la $f_i$'s son una base de $V$ (que generan, por lo que se puede extraer de una base). Ahora,

$$(\rho(g)f_i)(h)=f_i(hg)=\sum_j\psi_{i,j}\otimes f_j(g,h)=\sum_j\psi_{i,j}(g)f_j(h)$$ por lo tanto $$\rho(g)f_i=\sum_j\psi_{i,j}(g)f_j$$ Por lo $\rho(g)=(\psi_{i,j}(g))_{1\leq i,j\leq n}$, e $\rho$ es de hecho un inyectiva homomorphism algebraico de los grupos.