Valor esperado de la parte negativa y positiva de una variable aleatoria

Question

Tenemos $M_n=\max\left\{X_1,\ldots,X_n\right\}$ donde $X_i\sim \exp(1)$ iid , donde la fdc de $M_n$ est $(1-e^{-x})^n$ Y quiero demostrar que

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}[(M_n-\ln n)^{+}]=\int_0^\infty 1-e^{-e^{-t}} \, dt$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}[(M_n-\ln n)^{-}]=\int_0^\infty e^{-e^{-t}} \, dt$$

Así que primero trato de encontrar la dsitribución de $(M_n-\ln n)^{+}$

$$\mathbb{P}[(M_n- \ln n)^{+}\leq x] = \begin{cases} 0 & M_n-\ln n<0\\ \mathbb{P}[M_n-\ln n] & M_n-\ln n>0 \end{cases}=\begin{cases} 0 & M_n-\ln n<0\\ \left(1-\frac{e^{-x}}n\right)^n & M_n-\ln n>0 \end{cases}$$

Entonces $$\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}[(M_n-\ln n)^{+}]=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^\infty xe^{-x}\left(1-\frac{e^{-x}} n \right)^{n-1}\,dx=-\int_0^\infty e^{-e^{-x}} \, dx$$

El mismo cálculo para la parte negativa, pero no obtengo el resultado correcto, tiene que haber un error, pero no sé qué he hecho mal.

Answer 1

Así que, en primer lugar, su derivación de la distribución de $(M_n - \ln n)^+$ es confuso; en particular, nada depende de $M_n - \ln n$ sólo puede depender de $x$ . La forma correcta de argumentar es la siguiente:

$P(M_n - \ln n)^+ \le x) = 0$ si $x \le 0$ . Suponiendo que $x > 0$ podemos escribir que

$$\{(M_n - \ln n)^+ \le x\} = \{M_n \le \ln n\} \cap \{\ln n \le M_n \le \ln n + x\}$$

Lo que implica, para $x > 0$ ,

$$P(M_n - \ln n)^+ \le x) = P(M_n \le \ln n) + P(\ln n \le M_n \le \ln n + x) $$$$ = F_{M_n}(\ln n) + F_{M_n}(\ln n + x) - F_{M_n}(\ln n) = F_{M_n}(\ln n + x) $$$$= \left(1 - \frac{e^{-x}}n\right)^n $$

En este punto, observamos que $(M_n - \ln n)^+$ es una v.r. con soporte positivo. Podemos entonces utilizar la fórmula

$$E(X) = \int_0^\infty 1 - F_X(x) dx$$

y llevando el límite al interior llegamos al resultado deseado.

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El error en sus cálculos está probablemente aquí:

La densidad es

$$f_{M_n}(x) = e^{-x}\left(1 - \frac{e^{-x}}n\right)^{n-1}$$

Queremos el límite

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}[(M_n-\ln n)^{+}]=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^\infty xe^{-x}\left(1-\frac{e^{-x}} n \right)^{n-1}\,dx$$

Llevando el límite al interior encontramos que obtenemos

$$\int_0^\infty xe^{-x}e^{-e^{-x}}\,dx$$

Ahora bien, supongo que para llegar a tu resultado has utilizado la integración por partes como este punto, ya que $(e^{-e^{-x}})' = e^{-x}e^{-e^{-x}}$ . La cuestión es que el término fuera de la integral sería $\displaystyle (xe^{-e^{-x}})\mid_0^\infty$ que no convergen, por lo que la integración por partes no es válida.