¿Cómo puedo integrar $\int^{\infty}_0 \frac{p}{T} \frac{1}{e^{p/T}+1} dp$ ¿por partes? (si es por partes)

Question

He tratado de integrar esta ecuación:

$$\int^{\infty}_0 \frac{p}{T} \frac{1}{e^{p/T}+1} dp \tag{1} $$

e intentó hacerlo por partes siguiendo : $u=p^3$ y $dv=\frac{1}{e^{p/T}+1}$ donde por lo tanto $du= 3p^2$ y $v= -T\ln(1+e^{p/T})+p$

Pero cuando intento integrar el $\int v du$ por partes que no puedo integrar $dv$ .

En Wolframalpha simplemente dice que la integral da : $$\int -T\ln(1+e^{p/T})+p dp =\frac{x^2}{2} - T^2 \text{Li}_2(-e^{p/T}) \tag{2}$$ pero esto no parece la forma en que debería escribirlo.

¿Cómo se integra $(1)$ ?

Answer 1

No veo una manera fácil de evaluar la integral usando integración por partes, al menos no hasta que se haya reducido a una suma de integrales Gamma.

La forma habitual que he visto de evaluar esta integral es ampliar $$ \frac1{e^x+1}=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}e^{-kx} $$ como sigue $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac pT\frac1{e^{p/T}+1}\,\mathrm{d}p &=T\int_0^\infty\frac{x}{e^x+1}\,\mathrm{d}x\\ &=T\int_0^\infty x\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}e^{-kx}\,\mathrm{d}x\\ &=T\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac1{k^2}\int_0^\infty xe^{-x}\,\mathrm{d}x\\[3pt] &=T\eta(2)\Gamma(2)\\[6pt] &=T\frac{\pi^2}{12} \end{align} $$

Answer 2

Olvidando los límites, un enfoque que yo utilizaría sería hacer primero un $w$ -sustitución $w=e^{p/T}+1$ . Donde $$I=\int \frac{p}{T}\frac{1}{e^{p/T}+1}\,dp,$$ Creo que esto da $$I=T\int \ln(w-1)\cdot \frac{1}{w(w-1)}\,dw.$$

Hacer fracciones parciales en $\frac{1}{w(w-1)}$ para conseguirlo: $$I=T\int \left(\frac{\ln(w-1)}{w-1}-\frac{\ln(w-1)}{w}\right)\,dw.$$ Los primeros términos deberían ceder fácilmente a $u=w-1$ pero el segundo probablemente necesita algunas funciones especiales.

No veo la utilidad de las piezas aquí.

Answer 3

Dejar $u=e^{-p/T}$ , uno tiene $$ \int^{\infty}_0 \frac{p}{T} \frac{1}{e^{p/T}+1} dp =-T\int_0^1\frac{\ln u}{1+u}du=\frac{\pi^2}{12}T $$ donde $$ \int_0^1\frac{\ln u}{1+u}du=\frac{\pi^2}{12}. $$