La función meromorfa que tiende al infinito no puede tener polos en todos los puntos enteros

Question

Dejemos que $f$ sea una función meromorfa sobre $\mathbb{C}$ para lo cual $|f(z)|\to\infty$ como $|z|\to\infty$ . Demostrar que $f$ no puede tener polos en todos los puntos enteros.

Sé que podemos construir un homeomorfismo del plano complejo extendido $\mathbb{C} \cup \infty$ a la esfera $S^2$ por proyección estereográfica, y además que la esfera es compacta. Por lo tanto, si una función meromorfa tiene infinitos polos disjuntos (es decir, en los números enteros), tal vez podamos construir una cubierta sin una subcubierta finita. Sin embargo, me estoy confundiendo en cuanto a los detalles, en particular donde $\infty$ entra. Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $R>0$ sea tal que $|f(z)|\ge1$ si $|z|>R$ . Entonces $g(z)=1/f(z)$ es meromorfa y está acotada en el disco perforado $\{0<|z|<1/R\}$ . Se puede extender al disco como una función analítica. Dado que $f(z)\to\infty$ Debemos tener $g(0)=0$ . Si todos los enteros fueran polos de $f$ entonces $g(1/n)=0$ para todos $n\in\mathbf{Z}$ , $n\ne0$ . Esto implica que $g$ es idénticamente igual a $0$ .