Probar un conjunto $V$ no es algebraico

Question

Necesito ayuda para demostrar que el conjunto $V = \{(a,b) \in \mathbb{A}^2(\mathbb{C})\ \vert \ \vert a\vert^2 + \vert b\vert^2 = 1\}$ no es un subconjunto algebraico del espacio afín complejo 2.

Creo que puedo elegir simplemente dos números complejos $a$ y $b$ con módulos que suman 1 y sólo hay que demostrar que $(a,b) \neq 0$ . Por ejemplo, si elijo $a = i$ y $b=0$ entonces $$\vert a\vert^2 + \vert b\vert^2 = \vert i\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1^2 = 1,$$ pero $(a,b) = (i,0) \neq (0,0)$ y hemos terminado.

¿Es correcto este enfoque? Gracias de antemano.

Answer 1

Si este conjunto fuera algebraico, entonces su intersección con el conjunto $\{b=0\}$ sería sería un subconjunto algebraico de $\Bbb A^1(\Bbb C)$ . Pero esa intersección es $\{a\in\Bbb C:|a|^2=1\}$ . Pero aparte de $\Bbb A^1(\Bbb C)$ sí mismo, los subconjuntos algebraicos de $\Bbb A^1(\Bbb C)$ son todos finitos.

Answer 2

Si es o no $(a,b) = (0,0)$ no tiene nada que ver con nada. Por ejemplo $\{xy = 1\}$ es algebraico y no contiene $(0,0)$ . Recordemos que un conjunto $V$ es algebraico si es el conjunto de fuga de alguna colección de polinomios.

Hay un par de estrategias para demostrar que un conjunto no es algebraico. Primero, se puede tomar un polinomio que desaparece en $V$ y demostrar que siempre debe desaparecer en algún otro punto que no esté en $V$ (donde "siempre" significa que esto es cierto para cualquier polinomio que desaparece en $V$ no sólo uno en concreto). Piensa en el porqué de esto. Supongamos que $V = V(f_1,\dots,f_r)$ y cada $f_i$ desaparece en algún otro punto que no está en $V$ .

Otra estrategia es tener en cuenta las dimensiones y los grados y cosas por el estilo. Un ejemplo común para esto es el conjunto $\{(t,\sin(t)) : t \in \mathbf{R}\} \subseteq \mathbf{R}^2$ . Entonces, cuando se cruza esto con la línea $\{y = 0\}$ se obtienen infinitos puntos. ¿Pero qué tipo de polinomio tiene infinitos ceros?

Entonces, ¿qué tipo de polinomios desaparecen en tu conjunto? Esa es la primera pregunta que hay que hacerse.