¿Puede haber una incrustación j:V → L, desde el universo teórico de conjuntos V al universo construible L, cuando V ≠ L?

Question

Pregunta principal. ¿Puede haber una incrustación $j:V\to L$ de la universo teórico de conjuntos $V$ al universo construible $L$ , si $V\neq L$ ?

Por incrustación aquí, me refiero simplemente a un isomorfismo de clase propio de $\langle V,{\in}\rangle$ a su alcance en $\langle L,{\in}\rangle$ o, en otras palabras, a mapa elemental libre de cuantificadores $j:V\to L$ , un mapa de clases $j$ para que $x\in y\iff j(x)\in j(y)$ .

Este concepto de incrustación es considerablemente más débil de lo que se suele considerar en la teoría de conjuntos, donde se suelen tener incrustaciones que son al menos $\Delta_0$ -elemental si no mucho más. Por supuesto, podemos refutar fácilmente la existencia de elementos no triviales o incluso de $\Delta_0$ -incorporaciones elementales $j:V\to L$ . Sin embargo, esos argumentos simplemente fallan con este concepto de incrustación mucho más débil. Se puede empezar a ver esto observando que $$j(x)=\{\ j(y)\mid y\in x\ \}\cup\{\ \{0,x\}\ \}$$ define una incrustación $j:L\to L$ con $j(x)\neq x$ por cada $x$ . En particular, la existencia de una incrustación no trivial $j:L\to L$ en este sentido débil es coherente con $V=L$ y no lleva una gran fuerza cardinal, y no demuestra la existencia de $0^\sharp$ .

La cuestión se plantea en relación con mi documento,

• J. D. Hamkins, "Every countable model of set theory embeds into its own universo construible" (véase también el entrada en arxiv ),

donde aparece en la sección final con las otras preguntas que planteo aquí, entre otras. Tengo una media expectativa, una sospecha, sin embargo, de que esta pregunta puede admitir una respuesta fácil, y por eso la planteo aquí. Pero no sé en qué sentido la respuesta.

El teorema principal del trabajo muestra que todo modelo contable de teoría de conjuntos $M$ tiene una incrustación $j:M\to L^M$ . Pero la prueba establece la existencia de tales incrustaciones sólo de una manera externa externa, utilizando la contabilidad de $M$ . La pregunta principal anterior pregunta desde una perspectiva interna si se puede encontrar tal incrustación como una clase dentro del modelo.

La existencia de tal incrustación como clase definible implicaría, por supuesto, que implica, por supuesto, que $V=\text{HOD}$ ya que se puede retirar el orden canónico orden de $L$ à $V$ . En general, si $j$ es simplemente una clase en teoría de conjuntos de Gödel-Bernays, entonces la existencia de una incrustación $j:V\to L$ implica una elección global. Así que no podemos esperar que todos los modelos de ZFC o de GB tenga tales incrustaciones. ¿Pueden añadirse genéricamente? ¿Tienen alguna fuerza cardinal grande? ¿Son refutables?

Hay varias versiones más concretas de la pregunta.

Pregunta. Hace todos los conjuntos $A$ admiten una incrustación $j:\langle A,{\in}\rangle \to \langle L,{\in}\rangle$ ? Si no es así, ¿qué conjuntos admiten tales incrustaciones?

Se deduce del teorema principal del trabajo que todo contable conjunto $A$ se incrusta en $L$ . ¿Qué pasa con los conjuntos incontables?

Pregunta. Hace $\langle V_{\omega+1},{\in}\rangle$ incrustar en $\langle L,{\in}\rangle$ ? ¿Qué tal si $\langle P(\omega),{\in}\rangle$ o $\langle \text{HC},{\in}\rangle$ ?

Estas últimas cuestiones son interesantes principalmente cuando $V$ tiene reales no construibles. Me interesaría mucho conocer la respuesta.

Answer 1

He aquí algunos resultados parciales adicionales.

Teorema. Si hay una incrustación $j:V\to L$ en el sentido de la pregunta, entonces para un club de clase apropiado de cardenales $\lambda$ , tenemos $(2^\lambda)^V=(\lambda^+)^L$ .

Prueba. La colección de cardenales $\lambda$ para lo cual $j''\lambda\subset L_\lambda$ es cerrado y sin límites. Para cualquier tal $\lambda$ , si $A,B\subset\lambda$ son subconjuntos distintos de $\lambda$ entonces $j(A)\cap L_\lambda\neq j(B)\cap L_\lambda$ y por lo que en $V$ podemos colocar $2^\lambda$ en biyección con la colección de subconjuntos de $L_\lambda$ en $L$ que tiene un tamaño $(\lambda^+)^L$ . QED

Corolario. Si $0^\sharp$ existe, entonces no hay incrustación $j:V\to L$ .

Prueba. Si $0^\sharp$ existe, entonces $L$ no calcula tales cardenales sucesores $\lambda^+$ correctamente, y así $2^\lambda\geq(\lambda^+)^V\gt(\lambda^+)^L$ lo que contradice el teorema anterior. QED

Corolario. Si el GCH falla en una clase estacionaria de cardenales entonces no hay incrustación $j:V\to L$ .

Prueba. Si existe una incrustación $j:V\to L$ y el GCH falla en una clase estacionaria de cardenales, entonces habrá un cardenal $\lambda$ en el que el GCH falla y para el que $j''\lambda\subset L_\lambda$ ya que estos últimos cardenales forman un club de clase. Pero en este caso, el teorema muestra $2^\lambda=(\lambda^+)^L$ , lo que implica que la GCH se mantiene en $\lambda$ , una contradicción. QED

(Actualización) Corolario mejorado. Si hay una incrustación $j:V\to L$ entonces la GCH se mantiene en todas partes por encima de $\aleph_0$ .

Prueba. Este argumento fue hecho por el Usuario41953 en un comentario más abajo, y la misma observación me fue enviada por Menachem Magidor por correo electrónico. La idea es que como sabemos $0^\sharp$ no existe, podemos utilizar el lema de cobertura. Sea $\lambda$ sea cualquier cardinal incontable en $V$ . Cubriendo, $j''\lambda \subset B\in L$ con $|B|^V=\lambda$ , por lo que tenemos $|B|^L\lt(\lambda^+)^V$ pero por la prueba del teorema $|P^V(\lambda)|≤|P^L(B)|=(\mu^+)^L$ , donde $\mu=|B|^L$ y así $(2^\lambda)^V=(\mu^+)^L\leq (\lambda^+)^V$ . QED

Las siguientes observaciones se hicieron conjuntamente con Menachem Magidor:

Teorema. En la ampliación de la fuerza $V[G]$ obtenido mediante la adición de $\omega_1$ muchos reales de Cohen (o más), no hay $j:P(\omega)^{V[G]}\to L$ y de hecho no $j:P(\omega)^{V[G]}\to V$ .

Prueba. Supongamos que $V[G]$ se obtiene añadiendo al menos $\omega_1$ muchos reales de Cohen, y supongamos $j:P(\omega)^{V[G]}\to V$ es una incrustación en $V[G]$ . Considere $j''\omega$ que es un subconjunto subconjunto contable de $L$ . Este conjunto se añade mediante el forzamiento $V[G]$ , y como el forzamiento es c.c.c., existe en $V[g]$ para un verdadero $g\in V[G]$ . Sea $h$ ser otro real de Cohen en $V[G]$ que es mutuamente genérico con $g$ . Observe que $j(h)$ es un conjunto en $V$ cuya huella en $j''\omega$ es exactamente $h$ y así $h\in V[g]$ , en contra de la genericidad mutua. QED

Teorema. Para cualquier cardinal regular infinito $\kappa$ en la extensión forzada $V[G]$ obtenido mediante la adición de $\kappa^+$ muchos subconjuntos para $\kappa$ no hay $j:P(\kappa)^{V[G]}\to V$ .

Prueba. El mismo argumento funciona. El conjunto $j''\kappa$ está en $V[g]$ para un único subconjunto $g\subset \kappa$ pero también hay otros subconjuntos $h\subset\kappa$ con $h\notin V[g]$ aunque son determinados por $j(h)\in V$ y $j''\kappa\in V[g]$ , a contradicción. QED

En otro trabajo, actualmente en fase de redacción, Victoria Gitman, Gunter Fuchs y yo hemos demostrado que si es consistente que haya un Mahlo cardinal, entonces es consistente que hay un modelo transitivo modelo $M$ de ZFC de tamaño y altura $\omega_1$ que no se incrusta en $L_{\omega_1}$ .

Mientras tanto, la cuestión principal parece seguir abierta, aunque la evidencia sugiere ahora que podríamos esperar refutar en ZFC la existencia de una incrustación $j:V\to L$ cuando $V\neq L$ . Tal vez sería natural determinar la situación en la extensión de la fuerza $L[c]$ obtenido mediante la adición de un real de Cohen.

Answer 2

Suponiendo que $0^\#$ no existe, es coherente obtener una respuesta negativa a esas preguntas:

Supongamos que $(2^{\aleph_0})^V > \aleph_2$ y que ${\aleph_n}^V = {\aleph_n}^L$ durante al menos $n=1,2,3$ .

Afirmo que no hay incrustación $j: P(\omega) \rightarrow L$ . Sea $A = j^{\prime\prime} \omega$ . Es un conjunto contable en $V$ por lo que, por el lema de cobertura de Jensen, hay alguna $B \in L$ de cardinalidad como máximo $\aleph_1$ que cubre $A$ (tenga en cuenta que como $V$ y $L$ Estoy de acuerdo con los cardenales, $|B|^L \leq \aleph_1$ ).

Por cada $X \in P(\omega)$ el conjunto $j(X)\in L$ codifica un subconjunto de $B$ : $C_X = \{b \in B | b \in j(X)\} \in L$ . Desde $j^{\prime\prime} \omega \subset B$ para cada $X \neq Y$ , $C_X\neq C_Y$ . Esto contradice $|P(B)|^L \leq \aleph_2$ .