Encontrando $\text{Res}(f,0)$ donde $f(z)=\frac{1}{z^2\sin(z)}$

Question

Estoy tratando de determinar el residuo de $z=0$ donde $f(z)=\frac{1}{z^2\sin(z)}$ .

He determinado que $z=0$ es un polo de orden $3$ . Por lo tanto, para calcular el residuo, utilizo $$\text{Res}(f,0)=\frac{1}{2}\lim_{z\to 0}\frac{\partial^2}{\partial z^2}\left(\frac{z}{\sin(z)}\right).$$ Estoy convencido de que estoy haciendo algo incorrecto, ya que los cálculos se vuelven muy enrevesados. He calculado que $$\frac{\partial^2}{\partial z^2}=\frac{z\sin^3(z)-2\sin^2(z)\cos(z)+2z\sin(z)\cos^2(z)}{\sin^4(z)},$$ pero no estoy seguro de cómo seguir calculando el residuo, ya que soy incapaz de resolver este límite.

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He resuelto el problema mediante el uso repetido de la regla de L'Hopitals, pero esto me llevó el trabajo de calcular algunos límites feos. ¿Hay otra manera?

Answer 1

$$\sin z=z-\dfrac{1}{3!}z^3+\dfrac{1}{5!}z^5-\dfrac{1}{7!}z^7+\cdots$$ entonces \begin{align} \dfrac{1}{z^2\sin z} &= \dfrac{1}{z^3\left(1-\dfrac{1}{3!}z^2+\dfrac{1}{5!}z^4-\dfrac{1}{7!}z^6+\cdots\right)} \\ &= \dfrac{1}{z^3}\left(1+\dfrac{1}{6}z^2+(\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{120})z^4+\cdots\right) \\ &= \dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{6z}+\dfrac{7z}{120}+\cdots \end{align} s0 $a_{-1}=\dfrac16$ .

Answer 2

$\frac{\partial^2}{\partial z^2}(\frac z{\sin z})=\frac{\partial}{\partial z}\frac{\sin z-z\cos z}{\sin^2 z}=\frac{(\sin z-z\cos z)2\sin z\cos z+z\sin^3 z}{\sin^4 z}=\frac{2\cos z(\sin z-z\cos z)}{\sin^3 z}+\frac z{\sin z}=\frac{2\cos z}{\sin^2 z}-\frac{2z\cos^2 z}{\sin^3 z}+\frac z{\sin z}$ .

Ahora, para el término medio (ya que los otros dos son más fáciles), utilizamos el de L'Hôpital: $\frac{2\cos^2 z-4 z\cos z\sin z}{3\sin^2 z\cos z}=\frac{2\cos z}{3\sin^2 z}-\frac{4z}{3\sin z}$

Ahora para el primer término (ya que el otro es fácil), el de L'Hôpital de nuevo: $-\frac1{3\cos z}\to-\frac13$ .

El límite de cada plazo es ahora fácil:

$-1-(-\frac13-\frac43)+1=\frac13$ .

Obtengo un límite de $\frac13$ .