Si $dX_{t} = X_{t}\,dt + \,dB_{t}$ ¿Por qué? $e^{- t}dX_{t} = e^{-t} X_{t} \,dt + e^{-t} \,dB_{t}$ ?

Question

Estoy haciendo un curso de ecuaciones diferenciales estocásticas, y para resolver $dX_{t} = X_{t}\,dt + \,dB_{t}$ el libro da una pista: multiplicar ambos lados de esta ecuación por $e^{-t}$ . (Pero, como se explica más adelante, "multiplicación" no significa realmente la multiplicación habitual, ya que se trata de una ecuación integral).

Pero la ecuación original $dX_{t} = X_{t}\,dt + \,dB_{t}$ realmente significa:

$$X_{t} - X_{0} = \int \limits_{0}^{t} X_{s} \,ds + \int \limits_{0}^{t} \,dB_{s}.$$

Si $X_{t}$ satisface la ecuación anterior, entonces según la pista la siguiente ecuación también se cumple.

$$e^{-t}X_{t} - e^{-t}X_{0} = \int \limits_{0}^{t} e^{-s}X_{s}\,ds + \int \limits_{0}^{t} e^{-s} \,dB_{s}$$

¿Pero por qué?

Answer 1

Lo que el libro insinúa es el conocimiento de que si $$ X_t=X_0+\int_0^t X_s\,ds +B_t, $$ entonces $X$ es un semimartingale continuo y $$ \int_0^t e^{-s}\,dX_s=\int_0^t e^{-s}X_s\,ds+\int_0^t e^{-s}\,dB_s. $$ La forma diferencial de una EDE es algo más que una forma de ahorrar tinta (o electrones); puede (como aquí) servir de guía para deducir una ecuación integral de otra. Finalmente, la "regla del producto" para la integral estocástica nos da $$ \int_0^t e^{-s}\,dX_s-\int_0^t e^{-s}X_s\,ds = e^{-t}X_t-X_0, $$ de lo que se deduce que $e^{-t}X_t=X_0+\int_0^t e^{-s}\,dB_s$ .

Answer 2

En realidad, creo que ahora sé cómo responder. Mientras que los semimartingales proporcionan un marco para estas operaciones también lo hace el lema de Ito realmente.

El lema de Ito justifica "multiplicar" desde la izquierda con $e^{-t}$ ya que nos da condiciones suficientes para obtener un nuevo proceso Ito. En el cálculo ordinario es mucho más fácil ver qué operaciones se permiten y dónde se acaban utilizando, aquí sin embargo es menos claro.

Pero el lema de Ito debería ser suficiente para justificar lo que hace Did en los comentarios anteriores. Sin embargo, llamarlo multiplicar es una mala elección de formulación (especialmente cuando uno declea que $dX$ realmente es una integral) ya que realmente aplicamos una función al lado derecho en vista del lema de Ito aunque esta función sea esencialmente una multiplicación.