¿Cuál es la gama de $x,y,z$ cuando $n$ es un número natural conocido en: $n=x^5+y^5+z^5$

Question

Tengo la siguiente pregunta:

¿Cuál es el rango de la suma de tres números naturales distintos hasta la quinta potencia que son iguales a un número natural conocido?

Matemáticamente hablando:

$$n=x^5+y^5+z^5\tag1$$

Cuando $n\in\mathbb{N}$ es conocido, ¿cuál es el rango en el que $x\space\wedge\space y\space\wedge\space z\in\mathbb{N}$ puede estar en cuando sabemos que $x\ne y\ne z$ ?

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Creo que el rango debería ser: $1\le x,y,z\le\left(\left\lceil\sqrt{n}\right\rceil\right)^5$ pero no estoy seguro de por qué debería ser así.

Answer 1

Si $x$ es máxima entre ellas, entonces $y\leq x-1$ y $z\leq x-2$ (o viceversa).

Así que $$(x-2)^5+(x-1)^5+x^5\geq n\implies 3(x-1)^5\geq n$$

así que $$x\geq \sqrt[5]{n\over 3}+1$$ Así que $$\sqrt[5]{n\over 3}+1\leq x\leq \sqrt[5]{n-33}$$

si $n\geq 107313$ .