¿Forman las involuciones del grupo simétrico una base de un álgebra de Jordan?

Question

Dejemos que $M_d$ es un espacio vectorial que abarca el conjunto de todas las involuciones del grupo simétrico $S_d$ (puede tratar $M_d$ como un espacio de función sobre el conjunto de involuciones dotado de suma y multiplicación estándar por un escalar). Definir una operación $\circ\colon M_d\otimes M_d \to M_d$ como una extensión por la bilinealidad del siguiente producto sobre las involuciones.

Dejemos que $a$ , $b$ son dos involuciones. Conjunto $a\circ b = ab$ si $ab$ es una involución (este último producto es un producto habitual en $S_d$ ), y $0$ de lo contrario.

La conmutatividad de dicha operación es sencilla. También se puede comprobar que dicha operación no es asociativa para $d>2$ .

Me pregunto si $M_d$ dotado de la operación $\circ$ ¿es un álgebra de Jordan?

Answer 1

¿Es un contraejemplo?

# sage

def SGA(n):
    return SymmetricGroupAlgebra(QQ, n)

def j(a, b):
    SGA = a.parent()
    res = SGA.zero()
    for m, c in a:
        for mm, cc in b:
            lap = m.left_action_product(mm)
            if max(lap.cycle_type()) <= 2:
                res += c * cc * SGA.basis()[lap]
    return res

SGA4 = SymmetricGroupAlgebra(QQ, 4)
P = Permutations()
x = SGA4(P([2,1,3,4]))+SGA4(P([1,3,2,4]))-SGA4(P([4,3,2,1]))
y = SGA4(P([4,2,3,1]))
print j(j(x,y),j(x,x)) - j(x,j(y,j(x,x)))

> 2*[2, 1, 3, 4]

EDITAR: Sí. (Lo he comprobado a mano, ya que el código anterior está desordenado).

En anotaciones más estándar: Escribamos las permutaciones en $S_4$ en notación de ciclo. A continuación, se establece $x = \left(1,2\right) + \left(2,3\right) - \left(1,4\right)\left(2,3\right)$ y $y = \left(1,4\right)$ en el álgebra de grupo de $S_4$ . Entonces, usando su "multiplicación", $x\circ\left(y\circ\left(x\circ x\right)\right) = -5\left(2,3\right) - 2\left(1,2\right) + 5\left(1,4\right)\left(2,3\right)$ mientras que $\left(x\circ y\right)\circ\left(x\circ x\right) = -5\left(2,3\right) + 5\left(1,4\right)\left(2,3\right)$ .