ZFC : Si $I$ es un conjunto, y $A_i$ es un conjunto para cada $i$ es $A = \{A_i\}_{i \in I}$ ¿es necesariamente un conjunto?

Question

Acabo de empezar a investigar el ZFC axiomas, y no estoy seguro de cuál es la respuesta a la siguiente pregunta:

Si $I$ es un conjunto, y $A_i$ es un conjunto para cada $i$ es $A = \{A_i\}_{i \in I}$ ¿es necesariamente un conjunto?

Se puede demostrar muy fácilmente para un $I$ utilizando la inducción, pero no estoy seguro de lo que sucede si $I$ es infinito.

Answer 1

Eso depende de lo que quieras decir exactamente.

Si trabajamos internamente al universo, y tienes una definición de primer orden para $\{A_i\}_{i\in I}$ entonces sí. Se trata de un conjunto. Es decir, es el rango de la función $i\mapsto A_i$ y si es definible - en una forma muy muy sentido amplio de la palabra, entonces será un conjunto por el axioma de sustitución.

Si trabaja de forma externa a un modelo $M$ satisfaciendo $\sf ZFC$ . Si $M$ resulta ser contable, entonces habrá una biyección entre $M$ y $\Bbb N^M$ . Así que $M=\{m_i\}_{i\in\Bbb N^M}$ no será un conjunto en $M$ . Porque a pesar de ser definible en la metateoría, no era definible internamente para $M$ .