Mostrar un barrio es una superficie

Question

Supongamos que la función $h:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable. Sea $p$ sea un punto en $\mathbb{R}^3$ en el que $\nabla h(p) \neq 0$ y definir $c=h(p)$ . Demuestra que hay un barrio, $N$ de $p$ tal que $\mathcal{S}$ $=\{ (x,y,z) \in N | h(x,y,z)=c \} $ es una superficie.

Answer 1

Desde $\nabla h(p) \neq 0$ hay algún índice $i$ tal que $\langle \nabla h(p), e_i \rangle = \frac{\partial h(p)}{\partial x_i}\neq 0$ . Sea $j,k$ sean los otros dos índices. Reparametrizar $\mathbb{R}^3$ como sigue: Sea $\pi:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ con $\pi(x,y) = x e_i + y_1 e_j + y_2 e_k$ . Sea $\pi(\bar{x}, \bar{y}) = p$ . Tenga en cuenta que $\pi$ es un mapa lineal invertible (de hecho, ortogonal).

Dejemos que $\phi:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ sea dada por $\phi(x,y) = h(\pi(x,y)) -c$ . Entonces $\phi(\bar{x}, \bar{y}) = 0$ y $\frac{\partial \phi(\bar{x}, \bar{y}) }{\partial x} \neq 0$ por lo que, por el teorema de la función implícita, existe una vecindad $U$ de $\bar{y}$ , un barrio $V$ de $\bar{x}$ y un $C^1$ función $\eta:U \to V$ tal que $\eta(\bar{y}) = \bar{x}$ y $\phi(\eta(y), y) = 0$ para $y \in U$ . Además, si $(x,y) \in U \times V$ y $\phi(x,y) = 0$ entonces $x=\eta(y)$ .

Dejemos que $N = \pi(U\times V)$ . Desde $\pi$ es invertible, $N$ es una vecindad abierta de $p$ . De ello se desprende que $S \cap N = \{ \pi(\eta(y), y) \, | \, y \in U \}$ . Si dejamos que $\gamma(y) = \pi(\eta(y), y)$ podemos ver que $\gamma$ tiene una inversa en $S \cap N$ dado por $\gamma^{-1} (q) = (q_j,q_k)$ . Por lo tanto, $U \subset \mathbb{R}^2$ es difeomorfo a $S \cap N$ y así $S\cap N$ es una superficie.