Feynman Parámetros

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente identidad: $$ \left(\prod_{j=1}^n A_j\right)^{-1} = \int_0^1dx_1 \dots \int_0^1dx_n \,\delta\left(\sum_{i=1}^{n}x_i -1\right) \frac{(n-1)!}{(\sum_{j=1}^nx_iA_i)^{n}}\,\,\,\,\,\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}$$ Mi estrategia es la inducción en $n$. El $n=1$ paso es fácil de demostrar. Asumiendo la hipótesis de inducción, tenemos: $$ \left(\prod_{j=1}^{n+1} A_j\right)^{-1} = \left(\Pi_{j=1}^{n} A_j\right)^{-1} \cdot \left( A_{n+1} \right)^{-1} = \int_0^1dx_1 \dots \int_0^1dx_n \,\delta\left(\sum_{i=1}^{n}x_i -1\right)\left((n-1)!\right)\frac{1}{A_{n+1}(\sum_{j=1}^nx_iA_i)^{n}}$$ Entonces yo uso una identidad que es fácil de probar por la diferenciación de ambos lados de la ecuación repetidamente w.r.t. $B$: $$ \frac{1}{A\cdot B^n} = \int_0^1dx\int_0^1dy\delta\left(x+y-1\right)\frac{n\,y^{n-1}}{\left(xA+yB\right)^{n+1}}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}$$ para obtener: $$ \left(\prod_{j=1}^{n+1} A_j\right)^{-1} = \int_0^1dx_1 \dots \int_0^1dx_n \,\delta\left(\sum_{i=1}^{n}x_i -1\right)\left((n-1)!\right)\int_0^1dx\int_0^1dy\delta\left(x+y-1\right)\frac{ny^{n-1}}{\left(xA_{n+1}+y\sum_{i=1}^nx_iA_i\right)^{n+1}}$$ Realizar el $x$ integración: $$ \left(\prod_{j=1}^{n+1} A_j\right)^{-1} = \int_0^1dx_1 \dots \int_0^1dx_n \,\delta\left(\sum_{i=1}^{n}x_i -1\right)\left((n-1)!\right)\int_0^1dy\frac{ny^{n-1}}{\left(\left(1-y\right)A_{n+1}+y\sum_{i=1}^nx_iA_i\right)^{n+1}}\\\ = \int_0^1dy\int_0^1dx_1 \dots \int_0^1dx_n \,\delta\left(\sum_{i=1}^{n}x_i -1\right)\left((n-1)!\right)\frac{ny^{n-1}}{\left(\left(1-y\right)A_{n+1}+y\sum_{i=1}^nx_iA_i\right)^{n+1}}$$ Ahora realice los siguientes $n$ sustituciones: $$ u_i := y x_i \forall i \in \left\{1,\dots,n \right\} $$ Que se traduce en: $$ = \int_0^1dy\int_0^y\frac{du_1}{y} \dots \int_0^y\frac{du_n}{y} \,\delta\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i}{y} -1\right)\left((n-1)!\right)\frac{ny^{n-1}}{\left(\left(1-y\right)A_{n+1}+\sum_{i=1}^n u_iA_i\right)^{n+1}}$$ Uso de la función delta de identidad: $$ \delta\left(\sum_{i=1}^n \frac{u_i}{y} -1\right) = \delta\left(\sum_{i=1}^n u_i -y\right)\cdot y$$ Para obtener: $$ = \int_0^1dy\int_0^y du_1 \dots \int_0^y du_n \,\delta\left(\sum_{i=1}^{n}u_i -y\right)\frac{n!}{\left(\left(1-y\right)A_{n+1}+\sum_{i=1}^n u_iA_i\right)^{n+1}}$$ Por último, la sustitución de $u_{n+1} := 1-y$ $$ = \int_0^1du_{n+1}\int_0^{1-u_{n+1}} du_1 \dots \int_0^{1-u_{n+1}} du_n \,\delta\left(\sum_{i=1}^{n+1}u_i -1\right)\frac{n!}{\left(\sum_{i=1}^{n+1} u_iA_i\right)^{n+1}}$$ Ahora estoy atascado, porque no sé cómo lidiar con los límites de integración. Me podría estirar todos ellos de$0$$1$, pero como lo que yo puedo decir, eso significaría que tendría que dividir el todo por $n!$, lo que no me dé el resultado que estoy buscando.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

$$ \int_0^\infty dy_1 \dots \int_0^\infty dy_n e^{-A_1 y_1-\cdots-A_n y_n} $$ $$ = \int_0^\infty dy_1 \dots \int_0^\infty dy_n \int_{s=0}^\infty ds \delta\left(\sum_{j=1}^n y_j - s\right) $$ $$ = \int_{s=0}^\infty ds \int_0^\infty dy_1 \dots \int_0^\infty dy_n e^{-A_1 y_1-\cdots-A_n y_n}\delta\left(\sum_{j=1}^n y_j - s\right) $$ Hacer la sustitución $y_j = s x_j$, y la nota $\delta(sx) = s^{-1} \delta(x)$ si $s > 0$, para obtener $$ = \int_{s=0}^\infty ds \, s^{n-1} \int_0^\infty dx_1 \dots \int_0^\infty dx_n e^{-(A_1 x_1-\cdots-A_n x_n)s}\delta\left(\sum_{j=1}^n x_j - 1\right) $$ $$ = \int_0^\infty dx_1 \dots \int_0^\infty dx_n \delta\left(\sum_{j=1}^n x_j - 1\right) \int_{s=0}^\infty ds \, s^{n-1} e^{-(A_1 x_1-\cdots-A_n x_n)s} $$ y evaluar la integral sobre la $s$ para obtener $$ = \int_0^\infty dx_1 \dots \int_0^\infty dx_n \delta\left(\sum_{j=1}^n x_j - 1\right) \frac{(n-1)!}{(\sum_{j=1}^nx_jA_j)^{n}} $$ Pero también $$ \int_0^\infty dy_1 \dots \int_0^\infty dy_n e^{-A_1 y_1-\cdots-A_n y_n} $$ $$ = \prod_{j=1}^n \int_0^\infty dy_j e^{-A_j y_j} = \left(\prod_{j=1}^n A_j \right)^{-1} .$$