He aquí algunas observaciones. Incluyo el caso $g=1$ (incluso si $X$ no tiene ningún punto racional). Denotemos por $\hat{\mathcal X}$ el modelo regular mínimo (propio) de $X$ sobre el $O_K$ y que $\mathcal X$ sea el lugar suave de $\hat{\mathcal X}$ .
-
(1) Si el modelo de Néron existe, es igual al lugar suave $\mathcal X$ del modelo regular mínimo.
-
(2) Si las fibras de $\mathcal X$ en $O_K$ no tienen ningún componente racional irreducible (por ejemplo, si $X$ tiene una buena reducción), entonces $\mathcal X$ es el modelo Néron de $X$ .
-
(3) (localización) Si los modelos de Néron existen sobre DVRs, entonces existen sobre cualquier dominio Dedekind.
-
(4) (cambio de base) Que $R$ sea un DVR. Sea $R'/R$ sea una extensión de DVR tal que un elemento uniformizador de $R$ es también un elemento uniformador de $R'$ y tal que la extensión del residuo es separable (por ejemplo $R'$ puede ser la finalización de una henselización estricta de $R$ ). Si el modelo de Néron existe sobre $R'$ entonces el modelo de Néron existe sobre $R$ .
-
(5) Hiciste bien en no incluir el caso $g=0$ . La línea proyectiva no tiene modelo de Néron.
-
(6) Que $Y$ sea un esquema suave sobre un esquema regular noetheriano $S$ , dejemos que $Z$ sea un esquema regular, plano y de tipo finito sobre $S$ y que $f: Y\to Z$ sea un morfismo. Entonces $f(Y)$ está contenido en el lugar suave de $Z/S$ . En particular, el mapa canónico ${\mathcal X}'(O_K)\to X(K)$ es biyectiva si $\mathcal X'$ es el lugar suave de (cualquier) modelo regular propio de $X$ .
-
(7) Si $g=1$ entonces $\mathcal X$ es el modelo Néron de $X$ .
Prueba. Siento no poder dar todos los detalles por falta de energía y porque sería bastante ilegible en MO.
(1) Que $\mathcal N$ sea el modelo de Néron. Incrustarlo en un modelo plano propio, resolver su singularidad sin tocar al locus regular (que contiene $\mathcal N$ ). Entonces obtenemos un modelo regular adecuado $\hat{\mathcal N}$ que contiene $\mathcal N$ como subconjunto abierto. La identidad en $X$ se extiende al morfismo $\hat{\mathcal N}\to \hat{\mathcal X}$ . Por (6), este morfismo induce un morfismo $\mathcal N\to \mathcal X$ . Entonces $\mathcal X$ satisface la propiedad de mapeo universal de Néron. Por la unicidad del modelo de Néron, obtenemos $\mathcal N\simeq \mathcal X$ .
(2) Que $\mathcal Y -\to \mathcal X$ sea un mapa racional definido sobre $K$ con $\mathcal Y$ suave (regular es suficiente). La proyección $p: \Gamma\to \mathcal Y$ es birracional. Sea $y\in Y$ y supongamos $\Gamma_p$ no es finito. Por un teorema de Abhyankar (el esquema base es excelente aquí, si no, localiza y pasa a la terminación y usa (4)), las componentes $E$ de $\Gamma_p$ están sin regular. Pero $E\to \mathcal X$ es una inmersión cerrada, por lo que $E$ es una curva racional en una fibra cercana de $\mathcal X$ . Contradicción. Así, $p$ es cuasi-finito biratonal y suryente. Como $\mathcal Y$ es normal, $p$ es un isomorfismo por el Teorema Principal de Zariski y el mapa racional que consideramos está realmente definido en todas partes. Así que $\mathcal X$ es el modelo Néron.
(3) La curva $X$ tiene una buena reducción lejos de muchos lugares finitos. Utilizando (2) para los lugares de buena reducción y pegando con modelos de Néron sobre lugares de mala reducción, obtenemos un modelo global de Néron sobre $O_K$ .
(4) En primer lugar, la formación del modelo regular mínimo (y su locus liso) es compatible con dicho cambio de base. Por lo tanto, si $\mathcal X\otimes R'$ satisface la propiedad de mapeo universal de Néron sobre $R'$ entonces también lo hace $\mathcal X$ en $R$ por descenso fielmente plano para el dominio de definición de los mapas racionales.
(5) Fijar un modelo $\mathbb P^1_{O_K}$ de $\mathbb P^1_K$ . Hay muchos endomorfismos de la fibra genérica que no se extienden a $\mathbb P^1_{O_K}$ (por ejemplo $[x,y]\mapsto [x, py]$ ). Esto demuestra que $\mathbb P^1_K$ no tiene un modelo propio de Néron suave. El caso general se puede demostrar de forma similar con algunos trabajos adicionales.
(6) Croquis: Considere $Y\times_S Z\to Y$ . Basta con demostrar que sus secciones tienen imágenes en el lugar liso (sobre $Y$ ), entonces se utiliza el descenso de suavidad (fácil). El lado izquierdo es regular porque es suave sobre el esquema regular $Z$ y el lado derecho si regular porque es suave sobre el esquema regular $S$ . Así que podemos reducir al caso de morfismo plano de tipo finito $W\to Y$ entre dos esquemas regulares. Sea $y\in Y$ y que $w\in W$ sea su imagen por una sección $Y\to W$ . Entonces $ O_{W,w}\to O_{Y,y}$ es un mapa suryectivo de anillos locales regulares. Su núcleo está generado por { $t_1, \dots, t_d$ }, una parte de un sistema de coordenadas de $O_{W,w}$ . Por lo tanto, el ideal máximo $m_w$ de $O_{W,w}$ es generado por $t_1, \dots, t_d$ y $m_y$ . Por lo tanto, el ideal máximo de $O_{W_y, w}$ es generada por las imágenes de $t_1, \dots, t_d$ . La planicidad de $W\to Y$ implica que $W_y$ tiene dimensión $d$ en $w$ . Así que $W_y$ es regular en $w$ . De hecho, es suave porque $w$ es un punto racional de $W_y/k(y)$ .
Otra prueba es utilizar $\Omega^1_{W/Y}$ y el hecho de que la imagen de una sección es la intersección localmente completa.
Aplicación: si $\hat{\mathcal X'}$ es un modelo regular adecuado sobre $O_K$ por el criterio valorativo, $\hat{\mathcal X'}\to X(K)$ es biyectiva. Pero acabamos de ver que el LHS es $\mathcal X'(O_K)$ .
(7) Podemos trabajar sobre un DVR $R$ . Si existe una solución suave $R$ -sistema $\mathcal Y$ con fibra especial no vacía y un morfismo $\mathcal Y_K\to X$ entonces $\mathcal Y_K$ tiene un punto en una extensión étale de $R$ . Así que $X$ tiene un punto en una extensión étale. Por (4), podemos suponer entonces $X(K)\ne\emptyset$ . Por lo tanto, es una curva elíptica, y Néron demostró que $\mathcal X$ es el modelo Néron. Si tal $\mathcal Y$ no existe, entonces $\mathcal X$ satisface trivialmente la propiedad de los mapas de Néron.
