Calentamiento de la cobertura y la replicación
Empecemos con un juego de calentamiento.
Supongamos que estamos jugando a la ruleta, donde si apostamos $\$ 1$ en rojo y la ruleta cae en ese color, entonces obtenemos $\$ 2$ , de lo contrario obtenemos $\$ 0$ . En este casino, sin embargo, sabemos que la ruleta está sesgada para que $P(\text{Red}) = 0.7$ y $P(\text{Black}) = 0.3$ . Este divertido casino también tiene un corredor de apuestas que se ofrece a venderte un billete de lotería que paga $\$ 100$ si esta ruleta sesgada sale en rojo y cero en caso contrario; el corredor de apuestas está vendiendo este billete por $\$ 60$ . ¿Este billete es barato o caro?
El billete está sobrevalorado. Si en lugar de eso colocamos $\$ 60$ en la ruleta, entonces tenemos un potencial $\$ 120$ con probabilidad $0.7$ . El precio justo de este billete es $\$ 50$ .
En el ejemplo anterior, las probabilidades del mundo real no afectaron al precio del valor justo del billete y la razón de ello es la ley del precio único: dos "carteras" con el mismo pago deben tener el mismo precio. Esta ley da lugar al principio de replicación. El mismo principio es válido para los derivados financieros.
Modelo de mercado binomial de un período
Consideremos el modelo de mercado más simple posible: una acción $(S_t)$ , un bono $(B_t)$ y tiempos $t =0, 1$ . El espacio muestral es $\Omega = \{ H, T \}$ el tipo de interés libre de riesgo es $r \geq 0$ y en $t = 1$ La acción es $S_1(H) = uS_0$ (w.p. $p$ ) o $S_1(T) = d S_0$ (w.p. $1-p$ ), donde $u$ y $d$ son conocidos, y tenemos una derivada europea $V = g(S)$ que paga $V_1(H)$ ou $V_1(T)$ en el momento $1$ . Suponemos que $0 \leq d < 1+ r < u$ (ejercicio: ¿por qué?). Deseamos determinar el precio de tiempo cero de $V$ Llámalo $V_0$ .
Si empezamos con la riqueza inicial $X_0$ y comprar $\Delta_0$ acciones en el momento cero, por lo que nos quedamos con $X_0 - \Delta_0 S_0$ que invertimos en el bono. En el momento $t=1$ el valor de nuestra cartera es $$X_1 = \Delta_0 S_1 + (1+r)(X_0 - \Delta_0 S_0) = (1+r)X_0 + \Delta_0 (S_1 - (1+r)S_0)$$ Deseamos encontrar $X_0$ y $\Delta_0$ tal que $X_1(H) = V_1(H)$ y $X_1(T) = V_1(T)$ Esto lo hacemos igualando el valor descontado en el momento cero de la cartera de acciones+bonos con el valor descontado del pago de la opción:
$$\begin{align*} \begin{cases} X_0 + \Delta_0 \left( \frac{1}{1+r}S_1(H) - S_0 \right) = \frac{1}{1+r} V_1(H) \\ X_0 + \Delta_0 \left( \frac{1}{1+r}S_1(T) - S_0 \right) = \frac{1}{1+r} V_1(T) \end{cases} \end{align*}$$
Les dejo como ejercicio la comprobación de que $$\begin{align*} \Delta_0 &= \frac{V_1(H)- V_1(T)}{S_1(H) - S_1(T)} \\ X_0 &= \frac{1}{1+r} \left( \tilde{p}S_1(H) + (1-\tilde{p})S_1(T) \right) \end{align*}$$ donde $\tilde{p} = \frac{1+r - d}{u-d}$ . Por la ley de un solo precio sostenemos que $V_0$ debería ser el coste de la creación de la cartera de réplicas, por lo que $V_0$ es igual a $X_0$ encontrado arriba. Tenga en cuenta, en particular, que $X_0$ no depende de $p$ .
Un modelo de tiempo continuo
Supongamos ahora una situación más realista (aunque idealizada) en la que tenemos un mercado con un bono que gana interés compuesto $$dB_t = rB_t dt$$ y una acción que sigue un movimiento browniano geométrico $$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$ (El caso del movimiento browniano aritmético se responde en la pregunta que enlazaste). Tenemos una opción europea que paga $V_T = h(S_T)$ en el momento del vencimiento $t=T$ . Por ejemplo, para una opción de compra europea $h(S_T) = (S_T - K)^+$ o para la opción digital que ha descrito anteriormente, $h(S_T) = \chi_{\{S_T > 1\}}$ . Deseamos encontrar el precio de esta opción para $t < T$ es decir $V_t = f(t, S_t)$ (podemos y vamos a suponer que $f \in C^2$ ).
Para ello, creamos una cartera de réplica en las acciones y los bonos $\Pi_t = a_t S_t + b_t B_t$ . Exigimos que esta cartera satisfaga la condición de autofinanciación: $$d \Pi_t = a_t dS_t + b_t dB_t$$ lo que equivale a pedir que durante $0 < t < T$ no hay entradas ni salidas de efectivo. Si queremos que el precio de la opción coincida con el valor de nuestra cartera debemos exigir que $dV_t = d\Pi_t$ . Por el lema de Itô: $$dV_t = df(t,S_t) = \left( f_t (t,S_t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 f_{xx}(t,S_t) + f_x(t,S_t)\mu S_t \right)dt + f_x(t,S_t)\sigma S_t dB_t $$
Sustituyendo el modelo de existencias en nuestra dinámica por $\Pi_t$ obtenemos: $$d \Pi_t = (a_t \mu S_t + b_t r B_t)dt + a_t \sigma S_t dW_t$$
Al igualar los términos de difusión, observamos que nuestra cartera debe mantener $a_t = f_x(t,S_t)$ para cubrir la aleatoriedad de las acciones. Lo llamamos cobertura delta. Utilizando el valor de nuestra cartera, esto implica que $b_t B_t = \Pi_t - f_x(t,S_t) S_t$ . Por último, la coincidencia de los términos de la deriva en $dV_t$ y $d\Pi_t$ obtenemos: $$f_t (t,S_t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 f_{xx}(t,S_t) + f_x(t,S_t)\mu S_t = f_x(t,S_t) \mu S_t + r (\Pi_t - f_x(t,S_t) S_t)$$ Cancelando $f_x(t,S_t) \mu S_t$ en ambos lados y después de replicar $V_t = \Pi_t = f(t,S_t)$ obtenemos la famosa EDP de Black-Scholes:
$$f_t (t,S_t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 f_{xx}(t,S_t) = r (f(t,S_t) - f_x(t,S_t) S_t)$$
Que tiene una condición de contorno terminal $f(T,S_T) = h(S_T)$ . Cabe destacar que la EDP no depende de $\mu$ pero depende de $r$ .
Observaciones finales
Mecánicamente, hemos podido demostrar que la cobertura delta nos permite anular $\mu$ en nuestro cálculo del precio de la opción. Tal vez el modelo de un período pueda servir como intuición de por qué sucede esto: se puede extender a un modelo de varios períodos y luego aproximar el modelo de tiempo continuo arbitrariamente por el modelo de varios períodos.
La respuesta que publiqué en la pregunta que enlazaste utiliza un argumento diferente, que se deshace de $\mu$ mediante un argumento de martingala y el teorema de Girsanov. A esta idea se alude en el enlace compartido por @lulu, y deberías consultarlo para una mayor y más rica comprensión de por qué $\mu$ desaparece en nuestra fórmula de precios.
Por último, no se puede pedir $S_t$ para ser cualquier "proceso estocástico con deriva". Una consecuencia del Teorema Fundamental de la Fijación de Precios de los Activos (véase, por ejemplo, [1]) implica que el modelo físico para el precio de las acciones debe ser una semimartingala, por lo que algo como un movimiento browniano fraccionario geométrico no sería un modelo de acciones admisible y este argumento fallaría para él (véase, por ejemplo, la página 170 de [2]).
[1] Delbaen, Freddy, y Walter Schachermayer. "Una versión general del teorema fundamental de la valoración de activos". Mathematische annalen 300.1 (1994): 463-520.
[2] Biagini, F., Hu, Y., Øksendal, B., & Zhang, T. (2008). Stochastic calculus for fractional Brownian motion and applications. Springer Science & Business Media.
