Valores propios y vectores propios - unicidad

Question

Supongamos que tengo un cuadrado $n\times n$ matriz A con $n$ vectores propios linealmente independientes.

Es evidente que más de una matriz puede compartir los mismos vectores y valores propios.

Sin embargo, también sé que puedo escribir esta matriz A en la forma D \= P $^{-1}$ AP , donde D es una matriz diagonal con entradas diagonales iguales a los valores propios y las columnas de P son los vectores propios de A .

Sin embargo, en el otro sentido, si conozco los valores y vectores propios de una matriz A , entonces puedo formar las matrices P y D utilizando lo anterior. Sin embargo, esto parece sugerir que dados los valores propios y los vectores propios puedo encontrar una única matriz que corresponda a estos valores...

Entonces, ¿cuándo son únicos y no únicos los valores propios y los vectores propios? ¿Qué me falta?

Answer 1

Permítanme intentar una respuesta un poco más abstracta.

Si sabes $n$ valores propios distintos y un vector propio para cada uno (no sólo el conjunto de vectores propios) para una transformación lineal $T$ entonces esos vectores propios serán linealmente independientes y por tanto formarán una base. En esa base la matriz de la transformación será diagonal.

Si cambias de base con $P$ como en su pregunta, entonces en el nuevo sistema de coordenadas $T$ tendrá la matriz transformada. Pero seguirá siendo la misma transformación, con los mismos valores y vectores propios.

Por lo tanto, las matrices pueden tener los mismos vectores y valores propios cuando representan la misma transformación lineal, sólo que están escritas en sistemas de coordenadas diferentes. El sistema de coordenadas particular que lo escribe como una matriz diagonal es el que prefieres utilizar, ya que hace los cálculos más fáciles y transparentes.