Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una categoría. Sea $F:\mathcal{C}^{opp}\rightarrow Sets$ sea un presheave de conjuntos. ¿Es posible encontrar un functor de puntos $h_{U}$ para $U\in{\rm{Ob}}(\mathcal{C})$ tal que $h_{U}\rightarrow F$ es suryectiva como un mapa de presheaves? Más concretamente, si $\mathcal{C}=Sch/S$ donde $S$ es un esquema base, ¿es posible encontrar algún $U\in{\rm{Ob}}(Sch/S)$ tal que $h_{U}\rightarrow F$ es sobreyectiva en las secciones? Parece que no siempre es posible.
Respuesta
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Aleksandr Levchuk
Puntos
1110
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Ser un epimorfismo $X \to Y$ de presheaves, cada mapa componente $X (U) \to Y (U)$ debe ser sobreyectiva.
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En particular, si hay un $U$ tal que $Y (U)$ tiene una cardinalidad estrictamente mayor que $X (U)$ entonces no puede haber ningún epimorfismo $X \to Y$ .
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Si $\mathcal{C}$ tiene al menos un objeto - digamos $U$ - entonces podemos construir un presheaf $Y$ tal que $Y (U)$ tiene la cardinalidad que queramos: ¡tomemos la constante presheaf!
Si no te gusta el argumento anterior, aquí tienes otro:
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Los pregrabados representables son conexos, es decir, si $X$ es representable entonces para cualquier familia $Y_i$ ( $i \in I$ ) de presheaves el mapa de comparación canónica $$\coprod_{i \in I} \textrm{Hom} (X, Y_i) \longrightarrow \textrm{Hom} \left( X, \textstyle \coprod_{i \in I} Y_i \right)$$ es una biyección. Esto significa que todo morfismo $X \to \coprod_{i \in I} Y_i$ debe pasar por exactamente uno de los componentes del coproducto cocone $Y_j \to \coprod_{i \in I} Y_i$ .
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Por lo tanto, para cualquier objeto $U$ en $\mathcal{C}$ , si $Y$ y $Z$ son presheaves tales que $Y (U)$ y $Z (U)$ son no vacíos, entonces ningún morfismo $h_U \to Y \amalg Z$ puede ser un epimorfismo.
