Teoría de los Números (Polinomios) ¿Hallar el resto?

Question

Un polinomio $f(x) = x^{50} + 3x^{49} + 3x + 12$ cuando se divide por $x - a$ , deja un remanente $3$ & cuando su cociente se divide además por $x - b$ deja restos $5$ también cuando $f(x)$ se divide por $x^2 - ( b + a)x + ab$ el resto es $x + 6$ . Encuentre $a$ ?

Answer 1

Así que por el teorema del resto, $f(a)=3$ y $f(x)=g(x)(x-a)(x-b)+(x+6)$ para algún polinomio $g(x)$ . Utilizando el primer resultado en el segundo, se obtiene inmediatamente

Answer 2

$P=x^{50}+3x^{49}+3x+12=x^{49}(x+3)+3(x+3)+3=k(x-a)+3$

Así que el cociente k es:

$k=\frac{(x^{49}+3)(x+3)}{x-a}$

⇒ $\frac{(x^{49}+3)(x+3)}{x-a}=k_1(x-b)+5$

⇒ $(x^{49}+3)(x+3)=k_1(x-a)(x-b)+5(x-a)$

⇒ $p=(x^{49}+3)(x+3)+3=k_1(x-a)(x-b)+5(x-a)+3$

Por lo tanto:

$5(x-a)+3=x+6$ ⇒ $a=\frac{4x-3}{5}$