Definición de determinante

Question

El determinante es una función determinada del conjunto de todos los $n\times n$ matrices al conjunto de escalares.

¿Cómo se define el determinante? ¿Qué caracteriza a la función determinante?

Answer 1

La caracterización más natural del determinante es probablemente como una forma multilineal alterna.

Dejemos que $V$ ser un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{F}$ . Considere una función $f:V^n \rightarrow \mathbb{F}$ que es lineal en cada argumento, es decir $$f(\mathbf{v}_1,\ \cdots,\ a\mathbf{v}_i+b\mathbf{u}_i,\ \cdots,\ \mathbf{v}_n)=af(\mathbf{v}_1,\cdots,\ \mathbf{v}_i,\cdots,\ \mathbf{v}_n)+bf(\mathbf{v}_1,\cdots,\ \mathbf{u}_i,\cdots,\ \mathbf{v}_n)$$ Llamamos a esta función una forma multilineal. Si además ocurre que al intercambiar dos argumentos cualesquiera cambia el signo de la función, entonces se llama alternante: $$f(\mathbf{v}_1,\ \cdots,\ \mathbf{v}_i,\ \cdots,\mathbf{v}_j,\cdots, \ \mathbf{v}_n)=-f(\mathbf{v}_1,\ \cdots,\ \mathbf{v}_j,\ \cdots,\mathbf{v}_i,\cdots, \ \mathbf{v}_n)$$ Por algún pequeño milagro, resulta que existe una caracterización muy precisa de tales formas multilineales alternas.

Teorema: Dejemos que $V$ ser un $n$ -espacio vectorial sobre campo $\mathbb{F}$ . Sea $f:V^n\rightarrow \mathbb{F}$ y $g:V^n\rightarrow\mathbb{F}$ sean dos formas multilineales alternas cualesquiera. Entonces existen escalares $a,\ b\in\mathbb{F}$ tal que $af = bg$ . $\square$

Si consideramos las formas multilineales alternas en las columnas (o filas) de las matrices, entonces en particular hay precisamente un forma multilineal alternada que lleva la matriz identidad a $1$ . Dicha forma se denomina determinante .

Definición: El determinante $\det: \mathrm{M}_n(\mathbb{F})\rightarrow \mathbb{F}$ es el único forma multilineal alterna en las columnas (o en las filas, da igual) de la matriz tal que $\det(I) = 1$ .

En particular, las fórmulas especiales para el determinante, como la Expansión de Laplace et le Fórmula de Leibniz todos surgen de esta formulación.

Answer 2

Los determinantes se caracterizan por: 1. $det(Id)=1$ 2. El determinante cambia de signo cuando se intercambian las filas, 3. El determinante se multiplica por $a$ si se multiplica una fila por un escalar $a$ y 4. El determinante no se modifica añadiendo combinaciones lineales de una fila a otra.

Answer 3

La forma común de definir el determinante de una matriz cuadrada $A$ es mediante la fórmula $$det(A)= \sum _{(i_1 i_2 \cdots i_n)} [sgn(i_1 i_2 \cdots i_n)] a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}.$$

En lo anterior, $(i_1 i_2 \cdots i_n)$ abarca todas las permutaciones de $\{1,\dots,n\}$ y $sgn$ es el signo de la permutación ( $+1$ si la permutación es par; $-1$ si es impar).

Answer 4

En los libros de texto de álgebra lineal elemental suelen lanzarte la fórmula de expansión del cofactor una vez. Esta es la fórmula para la expansión cofactorial a lo largo de la ith fila :

$$det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij}$$

donde Cij es el cofactor de la entrada aij.

Lo que ocurre con la expansión del cofactor es que es recursiva. Así que cada Cij individual sería también la suma de otro montón de $a_{ij}C_{ij}$ 's.

No hay una manera fácil de escribirlo.

Por lo general, al definir una función $f:M_{n\times n}\rightarrow \Bbb R,$ escribir $f(A) = det(A)$ es completamente aceptable.

Answer 5

Los determinantes suelen definirse de forma recursiva. Es decir, el determinante de un $3x3$ se define en términos de determinantes de $2x2$ matrices que contienen elementos de la matriz original. Aquí es un enlace a la sección del artículo de la Wikipedia donde se habla de la definición. Espero que esto ayude, pero en el futuro por favor investiga un poco más.