¿Cómo demostrar que la categoría de cortes sobre una categoría de modelos de Quillen es también una categoría de modelos de Quillen?

Question

Tengo que probar esa categoría de rodajas $\mathcal{C}/X$ para $\mathcal{C}$ una categoría de modelo de Quillen es también una categoría de modelo de Quillen. He demostrado 2 de los 3 axiomas, pero estoy atascado con el axioma de retracción. Para mí, es obvio que el diagrama conmuta (morfismo en la categoría de trozos), debido a la definición de retracto.

Answer 1

Parece que has captado la idea. Trabajando en la categoría de rodajas $\mathcal{C}/X$ , donde $\mathcal{C}=\{\mathcal{C},F,\text{co}F,W\}$ es una categoría modelo con fibrados $F$ , cofibraciones $\text{co}F$ y las equivalencias débiles $W$ queremos mostrar $\mathcal{C}/X$ satisface el axioma de que la retracción de morfismos en $F,\text{co}F,$ o $W$ también están en $F,\text{co}F,W$ respectivamente.

Así que supongamos que tenemos $$\begin{matrix} A&&\stackrel{f}{\to}&&A'\\&\searrow& &\swarrow&\\&&X&&\end{matrix}$$ como un repliegue de $$\begin{matrix} B&&\stackrel{g}{\to}&&B'\\&\searrow& &\swarrow&\\&&X&&\end{matrix}$$ Eso significa que tenemos mapas $i:A\to B, r:B\to A, j:A'\to B',s: B'\to A'$ tal que $ri=\text{id}_A, sj=\text{id}_A'$ Todo se mueve con los mapas de $A,A',B,B'$ a $X$ y los cuadrados conmutan: $gi=jf, fr=sg$ .

Pero podemos enviar este diagrama a $\mathcal{C}$ simplemente olvidando la estructura de las rebanadas: ignora la parte de la conmutación con mapas a $X$ en la frase anterior y está expresando exactamente eso $f$ es un repliegue de $g$ en $\mathcal{C}$ . Entonces $f$ es una equivalencia débil (fibración, cofibración) entre $A$ y $A'$ en $\mathcal{C}$ para que sea una equivalencia débil (fibración, cofibración) entre $A\to X$ y $A'\to X$ en $\mathcal{C}/X$ siempre que este mismo diagrama conmute: $$\begin{matrix} A&&\stackrel{f}{\to}&&A'\\&\searrow& &\swarrow&\\&&X&&\end{matrix}$$ Y en el caso dado requerimos que sí conmute, por lo que tenemos una equivalencia débil, fibración o cofibración en $\mathcal{C}/X$ .