Puede alguien que me señale una prueba de que el conjunto de los números irracionales es incontable? Sé cómo demostrar que el conjunto $\mathbb{Q}$ de números racionales es contable, pero ¿cómo se demuestra que el irracionales son innumerables?
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SL2
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3145
Para divertirnos, podemos demostrarlo utilizando más maquinaria de la necesaria.
Supongamos por contradicción que los números irracionales son contables. Ahora dejemos que $q_1,q_2,\ldots$ sea una enumeración de los racionales, y sea $r_1,r_2,\ldots$ sea una enumeración de los irracionales. Ahora, establezcamos $F_i=\mathbb R\setminus \{q_i,r_i\}$ . Entonces los conjuntos $F_i$ son abiertos y densos en la topología habitual sobre $\mathbb R$ y así por el Teorema de la categoría Baire , $\bigcap_{i=1}^\infty F_i$ es denso en $\mathbb R$ . Sin embargo, $\bigcap_{i=1}^\infty F_i=\emptyset$ que no es denso, y por tanto los irracionales no deben ser contables.
Dado que los reales son incontables (lo que se puede demostrar mediante Diagonalización de Cantor ) y los racionales son contables, los irracionales son los reales sin los racionales, que son incontables. (O, como los reales son la unión de los racionales y los irracionales, si los irracionales fueran contables, los reales serían la unión de dos conjuntos contables y tendrían que ser contables, por lo que los irracionales deben ser incontables).
Oli
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89
Se puede utilizar una variante del conocido argumento de diagonalización de Cantor. Supongamos que $x_1,x_2,x_3,\dots$ es una enumeración de los irracionales. Sea $d_n$ sea el $n$ -ésima cifra decimal de $x_n$ después del punto decimal.
Dejemos que $w_n=5$ si $d_n$ no es igual a $3$ o $4$ y que $w_n=6$ si $d_n$ es igual a $3$ o $4$ .
Ahora damos la representación decimal de un irracional $y$ no en la lista $x_1,x_2,x_3,\dots$ . A grandes rasgos, es el número cuyo $n$ -el quinto dígito después del punto decimal es $w_n$ . Pero se hace alguna modificación para asegurar la irracionalidad.
En primer lugar, describimos el $n$ -décimo dígito $e_n$ después del punto decimal de $y$ , donde $w_n=5$ . Enumerar estos $n$ como $n_1,n_2,n_3,n_4,\dots$ . Dejemos que $e_{n_1}=5$ . Dejemos que $e_{n_2}=6$ . Dejemos que $e_{n_3}=e_{n_4}=5$ . Sea $e_{n_6}=6$ . Sea $e_{n_7}=e_{n_8}=e^{n_9}=5$ . Sea $e_{n_{10}}=6$ . Continúa, dejando cadenas cada vez más largas sin cambios $5$ 's.
El mismo procedimiento se utiliza para producir el $n$ -décimo dígito $e_n$ después del punto decimal de $y$ , donde $w_n=3$ . Deje las cadenas cada vez más largas sin cambiar, y cambie el dígito a $4$ ocasionalmente.
El número $y$ que producimos tiene una expansión decimal que difiere en el $n$ -ésimo lugar a partir del dígito correspondiente de $x_n$ . Los cambios ocasionales de $5$ a $6$ o $3$ a $4$ garantizar que la expansión decimal de $y$ no es en última instancia periódica.
John Fouhy
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Dejemos que $b$ sea una secuencia binaria infinita. Definir $$ E(b) = \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{(2k)!} + \frac{b_k}{(2k+1)!}\right). $$ Wikipedia prueba de la irracionalidad de $e$ se extiende para mostrar que $E(b)$ es irracional para toda secuencia binaria infinita $b$ . Así que si crees que el conjunto de todas las secuencias binarias infinitas es incontable, también debes creer que el conjunto de los números irracionales es incontable.
También podríamos definir $$ E(b) = \sum_{k=0}^\infty \frac{b_k}{k!}, $$ pero entonces $E(b)$ es irracional sólo si $b$ tiene un número infinito de $1$ s, o en otras palabras, no termina en una secuencia infinita de ceros.
user114523
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Supongamos que el conjunto de números irracionales es contable. Esto implica que podríamos demostrar que cada número del conjunto de los números irracionales tiene una correspondencia uno a uno con los elementos de N . Obsérvese que todos los números irracionales se caracterizan por tener un número infinito de cifras decimales. Podemos enumerar estos números de la siguiente manera: N * R-Q * 1 .a_11 a_12 a_13 a_14... 2 .a_21 a_22 a_23 a_24... 3 .a_31 a_32 a_33 a_34... 4 .a_41 a_42 a_43 a_44... ... ... Elige alguna x que sea un elemento de R-Q tal que x = .b_1 b_2 b_3 b_4... donde b = 1 si a_nn =/= 1 y 2 si a_nn = 2 para todo n que sea mayor o igual a 1.
QED
