Encontrar los polos de la función

Question

Suponga que tiene la función $f(z) = (1+0.4z)/(1 - z^{3}/1.01^{3})$ . Quiero encontrar los polos de la función y dibujar la densidad espectral. La respuesta dice que los polos están en $1.01$ , $1.01e^{2i\pi/3}$ y $1.01e^{-2i\pi/3}$ .. Sé que la raíz está en -2,5.

Answer 1

Esencialmente queremos resolver $\left(\dfrac z{1.01}\right)^3 = 1$ .

Pasar a forma polar $z = re^{i\theta}$ esto se convierte en..:

$$\left(\frac{r}{1.01}\right)^3e^{3i\theta} = 1$$

Igualando los valores absolutos, necesitamos $r$ para ser $1.01$ porque es un número real. Ahora nos queda esencialmente:

$$e^{3i\theta} = e^0$$

Por ejemplo Fórmula de Euler obtenemos que:

$$3\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$$

Hay esencialmente tres soluciones para esta ecuación, $\theta = 0, \dfrac{2\pi}3, \dfrac{4\pi}3$ . Desde $\dfrac{4\pi}3 \equiv -\dfrac{2\pi}3 \pmod{2\pi}$ obtenemos las soluciones dadas para $z$ .

Answer 2

Tres números que se dicen polos no son polos, son ceros, en realidad las tres raíces cúbicas de $1.01^3$ en el plano complejo. El real es $1.01$ los otros se obtienen girando la raíz real por $\frac{2\pi}{3}$ y $\frac{4\pi}{3}$ (o $\frac{2\pi}{3}$ en el sentido de las agujas del reloj)