¿Importan los signos de las secuencias de Puppe?

Question

Una construcción básica en homotopía es Secuencias de marionetas . Dado un mapa $A \stackrel{f}{\to} X$ su cofibra homotópica es el mapa $X\to X/A=X \cup_f CA$ de $X$ al cono de mapeo de $f$ . Si volvemos a tomar la cofibra, ocurre algo notable: $(X/A)/X$ es naturalmente equivalente en homotopía a la suspensión $\Sigma A$ de $A$ . Esto no es difícil de ver geométricamente; se puede encontrar una buena imagen y discusión en las páginas 397-8 de Hatcher . Si iteramos esto, terminamos con una secuencia $$A \to X \to X/A \to \Sigma A \to \Sigma X \to \Sigma(X/A) \to \Sigma^2 A \to \cdots$$ en el que cada mapa es la cofibra homotópica del mapa anterior. Si aplicamos entonces un functor que envíe las secuencias de cofibras a secuencias exactas, obtenemos una secuencia exacta larga. Esto puede entenderse como el origen de las secuencias exactas largas de cofibraciones en (co)homología, utilizando el hecho de que $H^n(X)=H^{n+1}(\Sigma X)$ .

Una sutileza de esta construcción es que bajo las identificaciones naturales de $(X/A)/X$ y $((X/A)/X)/(X/A)$ con $\Sigma A$ y $\Sigma X$ el mapa $\Sigma A\to\Sigma X$ es no la suspensión del mapa original $f$ sino su negativo (es decir, $-1\wedge f: S^1\wedge A=\Sigma A \to \Sigma X=S^1\wedge X$ donde -1 es un mapa de grado -1). La explicación geométrica de esto se puede ver claramente en la imagen de Hatcher, donde los conos se añaden sucesivamente en lados opuestos, por lo que las dimensiones de suspensión van en direcciones opuestas.

Sin embargo, normalmente no hay que preocuparse por este problema de signos. En primer lugar, dado que un mapa de grado -1 es una equivalencia autohomotópica (incluso un homeomorfismo) de $\Sigma A$ podríamos simplemente cambiar nuestra identificación de $(X/A)/X$ con $\Sigma A$ por dicho mapa y entonces sólo tendríamos $\Sigma f:\Sigma A \to \Sigma X$ (sin embargo, hay que tener en cuenta que entonces estamos no cambiando la forma de identificar el siguiente espacio en la secuencia con $\Sigma X$ que rompe parte de la simetría de la imagen). Alternativamente, si sólo nos interesa la secuencia de Puppe por las largas secuencias exactas que nos da, podríamos observar que una secuencia exacta sigue siendo exacta si se cambia el signo de uno de sus mapas.

Mi pregunta es: ¿hay alguna situación en la que estos signos realmente importen y tengan consecuencias interesantes? ¿Podrían estar conectados de algún modo con los signos que aparecen en los objetos conmutativos graduados en topología?

Answer 1

Hay un tipo de situación específica que conozco en la que ese signo es importante. Suponga que tiene $f:X \rightarrow Y$ y $g:Z \rightarrow W$ cofibraciones (si los mapas no son cofibraciones, todo funciona igual, sólo hay que sustituir los espacios cotizados por conos de mapeo). Se extienden ambos mapas a sus secuencias de Dold-Puppe, con lo que se obtienen las secuencias

$X \rightarrow Y \rightarrow Y/X \rightarrow \Sigma X \rightarrow \Sigma Y \ldots$

y

$Z \rightarrow W \rightarrow W/Z \rightarrow \Sigma Z \rightarrow \Sigma W \ldots$

Ahora suponga que tiene mapas $a: X \rightarrow W$ y $b: Y \rightarrow W/Z$ haciendo que el cuadrado obvio conmute hasta la homotopía. A continuación, se pueden extender para hacer una escalera conmutativa de la primera secuencia de Dold-Puppe a la segunda. (Nótese que las secuencias están deliberadamente desplazadas una de otra por un punto).

Utilizando los parámetros habituales y las opciones obvias de homotecia se obtiene un cuadrado que implica $Y/X, \Sigma X, \Sigma Z, \Sigma W$ . Este cuadro conmutará si incluye el mapa $-\Sigma g: \Sigma Z \rightarrow \Sigma W$ , pero no generalmente con el mapa $\Sigma g$ . (Para comprobar todo esto, recomiendo hacer las secuencias de Dold-Puppe con conos de mapeo en lugar de espacios cotizantes, pero teniendo en cuenta las equivalencias de homotopía con los espacios cotizantes, que es la única forma que conozco de calcular cuáles deben ser los mapas correctos).

En este punto, si te sientes obstinado, podrías reemplazar el mapa en tu escalera $\Sigma X \rightarrow \Sigma Z$ con $-1$ veces ese mapa, y eso le permitiría haber utilizado $\Sigma g$ en el cuadrado que menciono en el párrafo anterior, pero eso crea otros problemas; si eliges no usar simplemente las suspensiones de tus mapas originales para ir de una secuencia Dold-Puppe a la otra entonces te encuentras con un problema cuando estás mapeando entre secuencias Dold-Puppe sin el turno de este ejemplo.

Espero que esto ayude a desentrañar la respuesta de Greg (que es correcta: necesitas el signo para obtener buenas propiedades de mapeo).

Por supuesto, uno ve exactamente el mismo fenómeno en la categoría de complejos de cadenas de grupos abelianos (donde la homotopía es la homotopía de cadena) y otras categorías similares. Estoy de acuerdo con Theo y Mark en que uno piensa en la suspensión como "impar" (en el sentido de paridad no el sentido de peculiar).

El artículo publicado al que se refiere Mark y que tiene un error exactamente de este tipo (que desgraciadamente es fundamental para el artículo) es de Lin Jinkun en Topology v. 29, no. 4, pp. 389-407. Leí este artículo en forma de preimpresión en 1988 y se me pasó este error, pero lo descubrí en 1992 al leer otro artículo del mismo autor con el mismo error. En el artículo sobre topología, el error se produce en el diagrama 4.4 en el cuadrado de la derecha (prueba del lema 4.3).

Answer 2

Hubo un caso en el que un artículo demostró un resultado muy sólido y el árbitro encontró un agujero irreparable en la prueba causado por el olvido del signo en la secuencia de Puppe. Como han dicho otros, es análogo al signo en el producto tensorial de los complejos en cadena:

$d(x \otimes y) = dx \otimes y + (-1)^k x \otimes dy$

si x tiene grado k. Es importante.

Answer 3

Esto no es exactamente una respuesta, pero muestra que estos signos sí son importantes en general: El ejemplo 4.21, página 32, de la obra de B. Iversen "Cohomología de gavillas" (Universitext, Springer-Verlag, Berlín, 1986) muestra que no se pueden cambiar los signos de un mapa en un triángulo distinguido en una categoría triangulada sin romper su distinción -el ejemplo está en la categoría de homotopía de complejos de grupos abelianos. Se puede intercambiar dos signos, sin embargo.

Answer 4

Básicamente, mi interpretación de la respuesta de Mariano es la siguiente: hay que ser coherente con los signos de la secuencia de Puppe para que se mantengan las buenas propiedades que uno quiere (en concreto, el axioma de mapeo cuando se usan secuencias de cofibras como triángulos, no estoy seguro de que esto sea un problema en las versiones mejoradas), pero al menos en mi opinión, en cierto sentido, la elección coherente de los signos que uno hace es sólo una convención.

Este requisito nos lleva a los cambios de signo en el axioma relativo a la rotación de triángulos en una categoría triangulada. Es esto lo que en cierto sentido es la fuente del comportamiento conmutativo graduado que uno observa (así que realmente viene de los signos en la secuencia de Puppe como una fuente de motivación). Por ejemplo, se puede formalizar este comportamiento considerando el "anillo central" $Z^*(\mathbf{T})$ de una categoría triangulada $\mathbf{T}$ (podría no formar un conjunto, de ahí el "") cuyas piezas graduadas son $$Z^i(\mathbf{T}) = \{\eta\colon Id \to \Sigma^i \; \vert \; \eta\Sigma = (-1)^i\Sigma\eta \}$$ es decir, transformaciones naturales del funtor identidad a potencias del funtor suspensión que conmutan o anticonmutan con la suspensión dependiendo del grado. La composición convierte esto en un "anillo" conmutativo graduado que tiene una acción natural sobre los hom-sets graduados de $\mathbf{T}$ donde necesitamos la conmutatividad graduada para asegurar que el cambio de signo en la suspensión sea atendido y así todo juegue bien con los triángulos. Así que si tienes transformaciones naturales interesantes en grados superiores, tienes una acción natural gradualmente conmutativa.

Answer 5

Si tomas un cuadrado conmutador de mapas y utilizas cofibras de homotopía para extenderlo hacia fuera a una gran cuadrícula, al final te encuentras con algunos cuadrados anticonmutadores, que en realidad son cuadrados superconmutadores. Creo que esto responde afirmativamente a tu última pregunta. Que esto responda a tus otras preguntas depende realmente de tus criterios, supongo.

El cuadrado anticonmutación se menciona en Faisceaux Pervers y posiblemente también el capítulo de categorías trianguladas de la obra de Weibel Álgebra homológica .

Edit : Creo que hay una manera de escribir una secuencia de Mayer-Vietoris como cadenas en la totalización de una gran cuadrícula como esta. Entonces necesitas los signos para que funcione. Aquí hay un intento de diagrama:

$$\require{AMScd}\begin{CD} A @>>> B @>>> B/A @>>> \Sigma A \\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ C @>>> D @>>> D/C @>>> \Sigma C \\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ C/A @>>> D/B @>>> X @>>> \Sigma(C/A) \\ @VVV @VVV @VVV @VVV \\ \Sigma A @>>> \Sigma B @>>> \Sigma(B/A) @>>> \Sigma^2 A \\ \end{CD}$$

El cuadrado de abajo a la derecha es anticomunitario, pero el resto lo es. Los mapas de los bordes inferior y derecho tienen signos negativos.