Comparación de la topología inducida por la norma de Hilbert-Schmidt y la norma del operador

Question

Sabemos que la clase de operadores de Hilbert-Schmidt $\mathcal{L}_2 \mathcal{(H)}$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ forma un espacio de Hilbert con el producto interior $\langle u,v\rangle =\operatorname{tr}(v^*u)$ donde la función de rastreo se define para los operadores de clase de rastreo por $$\operatorname{tr}(u)=\sum_{x\in E}\langle ux,x \rangle$$ donde $E$ es una base ortonormal de $\mathcal{H}$ . La norma para esta topología es la norma de Hilbert-Schmidt $\Vert u\Vert_2=\sum_{x\in E} \Vert u(x)\Vert ^2$ . También sabemos que la norma del operador $\Vert \cdot \Vert \leq \Vert \cdot \Vert_2$ lo que implica que la topología de la norma de Hilbert-Schmidt es más débil que la topología de la norma del operador.

Mi pregunta es si la topología de la norma de Hilbert-Schmidt es estrictamente más débil que la topología de la norma del operador o si son equivalentes en $\mathcal{L}_2 \mathcal{(H)}$ ?

Answer 1

En el caso separable (es decir $E$ contable), no lo es. Consideremos una biyección explícita $E \rightarrow \mathbb{N}$ y que $V_n$ sea el subespacio vectorial generado por el primer $n$ vectores de $E$ . Sea $T_n$ sea $n^{-1/2}$ veces la proyección ortogonal sobre $V_n$ . Entonces $\|T_n\|_{HS}=1$ pero $\|T_n\|_{op}=n^{-1/2}$ .