Los límites en la categoría de espacios topológicos deben venir equipados con la topología inicial

Question

$ \newcommand{\cat}[1]{\mathsf{#1}} $ El título lo dice todo. Deje que $ \cat J $ sea una categoría pequeña y que $ D $ ser un $ \cat J $ -diagrama indexado de espacios topológicos. Supongamos un límite $ (L,\tau_L) $ de este diagrama existe en la categoría de espacios topológicos (existe, de hecho, pero eso no es importante aquí), y dejemos que $ {\left(\lambda_j\colon (L,\tau_L)\to Dj\right)}_{j\in \cat J} $ sean (los tramos de) su correspondiente cono límite.

¿Es cierto que $ \tau_L $ es la topología inicial del conjunto $ L $ con respecto a los mapas continuos $ \lambda_j\colon (L,\tau_L)\to Dj $ ?

Lo que he probado hasta ahora

He jugado con los productos sólo para tener una idea de lo que estoy haciendo.

Dejemos que $ (A,\tau_A) $ y $ (B,\tau_B) $ sean espacios topológicos. Sea $ (P,\tau) $ sea un producto categórico de $ (A,\tau_A) $ y $ (B,\tau_B) $ y que $ \pi_A\colon (P,\tau)\to (A,\tau_A) $ y $ \pi_B\colon (P,\tau)\to (B,\tau_B) $ sean (los tramos de) su cono límite. Supongamos que $ \tau^\prime $ es una topología sobre el conjunto $ P $ tal que el conjunto mapea $ \pi_A\colon P\to A $ y $ \pi_B\colon P\to B $ actualización de las funciones continuas $ \pi_A\colon (P,\tau^\prime)\to (A,\tau_A) $ y $ \pi_B\colon (P,\tau^\prime)\to (B,\tau_B) $ (Estoy usando los mismos nombres para las proyecciones en todas partes sólo para confundirte, o simplemente porque nombrarlas de manera diferente es peor que la enfermedad).

Necesito probar que dado $ U\in \tau $ entonces $ U\in \tau^\prime $ . Pensé que podría "retirarse" $ U $ de $ (P,\tau) $ a $ (P,\tau^\prime) $ mediante la función continua $ \phi\colon (P,\tau^\prime)\to (P,\tau) $ cuya existencia está garantizada por la propiedad universal de los productos. Si seguimos esta línea de razonamiento, bien podríamos esperar no sólo que $ \phi^{-1}(U) = U $ pero que $ \phi $ tiene la función de identidad de $ P $ como el mapeo de conjuntos subyacente.

A partir de ahí estoy básicamente perdido. Demostrando que la función de identidad $ 1_P\colon P\to P $ dan lugar a un continuo función $ 1_P\colon (P,\tau^\prime)\to (P,\tau) $ es lo mismo que demostrar que $ \tau $ es más grueso que $ \tau^\prime $ que es lo que quería demostrar.

Answer 1

Tienes toda la razón, y hay varias maneras de ver esto.

Probablemente la forma más sencilla es utilizar la "propiedad característica" de la topología inicial, que puede encontrar en el página de wikipedia . Esto dice que si $(f_i : X \to Y_i)$ es una familia de mapas, entonces la topología inicial es tal que $g : Z \to X$ es continua si y sólo si cada una de las $f_i \circ g$ son. Si tu definición de topología inicial es en términos de conjuntos abiertos en lugar de propiedades características, puedes encontrar una prueba de que las dos definiciones son equivalentes aquí .

Ahora, sabemos que el functor de olvido $U : \mathsf{Top} \to \mathsf{Set}$ preserva los límites (después de todo, es adjunto a la derecha del functor de topología discreta) por lo que si tenemos algún diagrama $D$ sabemos que $U (\lim_D Y_i) \cong \lim_D (U Y_i)$ y el conjunto subyacente está totalmente determinado. ¡Todo lo que queda es elegir la topología "correcta" para poner en este conjunto, por supuesto la "propiedad característica" como se definió anteriormente nos dice exactamente que la topología inicial es la que hay que elegir!

¿Puedes ejecutar un argumento similar para demostrar que los colímetros en $\mathsf{Top}$ se calculan como colímites en $\mathsf{Set}$ equipado con el topología final ? La idea aquí es utilizar esa $U$ también tiene un adjunto izquierdo (el functor de topología indiscreta), por lo que $U$ ¡conserva los colimits también!

Por último, existe la noción de " categoría topológicamente concreta " que axiomatiza la relación $\mathsf{Top}$ tiene que $\mathsf{Set}$ . La parte realmente importante de la definición es la existencia de "elevaciones iniciales", que básicamente te dicen que las topologías iniciales existen, ¡y son las que utilizamos para calcular los límites! Puedes ver algunos ejemplos de categorías topológicas, y sus similitudes con $\mathsf{Top}$ en un entrada del blog de la mía.

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Espero que esto ayude ^_^

Answer 2

En esta respuesta Demostré que las topologías iniciales obedecen al llamado teorema universal de la continuidad (si $\tau$ en $X$ es inicial para las funciones $f_i: X\to (Y_i,\tau_i), i \in I$ entonces cualquier función $g:(Z,\tau') \to (X,\tau)$ en ella, es continua si todas las composiciones $f_i \circ g$ son continuos) caracteriza la topología inicial $\tau$ (la topología $\tau$ en $X$ es la topología única en $X$ con esa propiedad). El argumento no es difícil.

Así que si tenemos un diagrama en la categoría $\mathsf{Top}$ El mismo diagrama en $\mathsf{Set}$ (aplicando así el functor de olvido) tiene un límite $X$ (más mapas) en $\mathsf{Set}$ y como ese límite debe obedecer el teorema universal de la continuidad en $\mathsf{Top}$ (la función como mapa de conjunto existe y debemos hacerla existir, es decir, continua), $X$ debe obtener la topología inicial por el hecho anterior. Es un poco complicado, pero creo que un teórico de la categoría avezado podría convertirlo en algo formal (tenemos una especie de elevación de $\mathsf{Set}$ volver a $\mathsf{Top}$ . Creo que Herrlich, Preuß y Strecker (entre otros) han escrito mucho sobre tales "categorías topológicas", que para ellos incluían también las categorías de espacios uniformes, espacios medibles, espacios de convergencia y espacios de cierre, así como los espacios de proximidad.En todos ellos tenemos una equivalencia de estructuras iniciales (a menudo llamadas "fuentes") y estructuras finales ("sumideros") para definir los límites.