Demuestra que $z^5 - z +16$ tiene dos raíces en el semiplano derecho

Question

Demuestre que el polinomio $$z^5 - z +16$$ tiene todas sus raíces en la región $$\{z\in \mathbb{C} \; | \; 1< |z| < 2\},$$ y demostrar que dos de sus raíces tienen parte real positiva.

He utilizado el teorema de Rouché para demostrar que todas sus raíces están en la región anterior. Pero no tengo ninguna pista sobre cómo demostrar la segunda parte, que dos de las raíces están en el semiplano derecho.

Answer 1

Utiliza el principio argumental en un gran bucle en forma de D atravesado en sentido contrario a las agujas del reloj.

dejar $P(z) = z^5-z+16$ y el primer reloj $P(z)$ en el eje imaginario.

$P(iy) = 16 + i(y^5-y)$ para que se mantenga en el semiplano derecho, y mirando los límites cuando $y \to \pm \infty$ vemos que su argumento disminuye en $\pi$ como $y$ baja de $+\infty$ a $-\infty$ .

Mientras tanto, si se mira $P$ en un gran semicírculo en el semiplano derecho, $P(z) \sim z^5$ para que cuando $z$ sigue a lo largo del círculo, su argumento aumenta en $\pi$ y así $z^5$ y $P(z)$ El argumento de la empresa se incrementa en $5\pi$ .

En total, el argumento cambia por $5\pi-\pi = 4\pi$ durante todo el bucle, por lo que debe tener dos raíces en su interior.

Answer 2

Una pista: Dejemos que $\mathcal{R}$ sea el semiplano derecho.

1. Dejemos que $P(X)$ sea un polinomio con coeficientes reales. Demuestre que si $\alpha$ es una raíz de $P(X)$ entonces también lo es su conjugado complejo $\bar{\alpha}$ .

2. Demuestra que $P(X)=X^5-X+16$ tiene sólo una raíz real que es negativa. (Puedes utilizar tu resultado ya existente para demostrar que todas las raíces reales son negativas. Además, al mostrar que $P(X)$ es monótona en $1<|x|<2$ de la empresa, podrás sellar el trato).

3. Concluir que las raíces de $P(X)$ son de la forma $r\in \mathbb{R}$ negativo, $\alpha, \bar{\alpha}$ y $\beta, \bar{\beta}$ todas las raíces complejas. Argumentar que $P(X)$ tiene cero, dos o cuatro raíces en $\mathcal{R}$ . Demuestre también que $$P(X)=(X-r)(X^2-2AX+|\alpha|^2)(X^2-2BX+|\beta|^2)$$ donde $A=\mathrm{Re}[\alpha]$ y $B=\mathrm{Re}[\beta]$ .

4. Ampliando la relación anterior (ojo con $X^4$ ), demuestre que $$ r=-2(A+B) $$ Entonces demuestre que $A+B>0$ y, por lo tanto, con raíces cero en $\mathcal{R}$ es imposible.

5. Una vez más, ampliando la relación anterior (echa un ojo a $X^2$ ), y la parte anterior, muestran que $$ |\alpha|^2 A + |\beta|^2 B + 4AB(A+B)=0 $$ Argumentar que es imposible tener ambas cosas $A>0$ y $B>0$ . Esto termina el trabajo.