El famoso teorema Birkhoff-von Neumann afirma que toda matriz doblemente estocástica puede escribirse como una combinación convexa de matrices de permutación.
La cuestión es señalar diferentes generalizaciones de este teorema, diferentes "no generalizaciones", es decir, casos en los que una generalización esperada es falsa, y describir brevemente el contexto de estas generalizaciones.
Una pregunta relacionada con el MO: Muestreo del politopo de Birkhoff
Existe una "verdadera" generalización dentro de la teoría cuántica dada por John Watrous en arXiv 0807.2668v1, donde se demuestra que una mezcla de un canal doble estocástico con un canal completamente despolarizante satisface la "versión cuántica" del teorema de Birkhoff (combinación convexa de canales unitarios).
Una extensión reciente del teorema de Birkhoff es de Ellis, Friedgut y Pilpel. El contexto es Teoremas de Erdos-Ko-Rado para las permutaciones . Véase la sección 5 y especialmente la definición 17 y el teorema 29 de este documento .
Permítanme también mencionar el documento El politopo de matriz de signo alterno de Jessica Striker, sobre el politopo de matriz de signo alterno.
Una conjetura que extiende el teorema de von Neumann de Birkoff a los grupos Coxeter finitos (La familia A_n da el caso original) que se demuestra en todos los casos menos uno se puede encontrar en este documento por N. McCarthy, D. Ogilvie, I. Spitkovsky y N. Zobin.
No estoy seguro de que esto sea lo que buscas, pero la afirmación para las matrices simétricas doblemente estocásticas es que cada una de ellas puede escribirse como una combinación convexa de $(\sigma + \sigma^t)/2$ donde $\sigma$ es una matriz de permutación. No todos estos son necesariamente vértices, pero definitivamente no es un politopo integral, así que quizás esto sería una "no generalización".
El libro Combinatorial Matrix Classes, de Richard Brualdi, contiene una serie de generalizaciones de carácter combinatorio, en torno al capítulo 8. Además, el mínimo común denominador de los vértices de un politopo racional está relacionado con el período del cuasipolinomio de Ehrhart, véase por ejemplo Ejercicio 3.25 en el libro de Beck y Robins, http://math.sfsu.edu/beck/papers/noprint.pdf .
El conjetura cuántica asintótica de Birkhoff por Smolin, Verstraete y Winter fue refutado por Haagerup y Musat. El siguiente artículo http://www.iro.umontreal.ca/~qip2012/SUBMISSIONS/short/qip2012_submission_105.pdf presenta el estado de la técnica y da algunas referencias.
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