Leer Carta de Serre a Gray Me pregunto si ahora las exposiciones modernas de los temas en El libro de Klein existe. ¿Conoce alguna?
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Trausti Thor
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Me interesé por este tema el año pasado (2011) y recién me puse a escribir algunas notas que espero sea de utilidad. También tengo un script en python alojado aquí que implementa la solución icosaédrica de Klein de la quíntica, así como un breve resumen de lo que hace aquí .
La geometría es fácil de resumir: utilizando una transformación radical, un quíntico puede ponerse en la forma $y^5 + 5\alpha y^2 + 5\beta y + \gamma = 0$ . El vector de las raíces ordenadas de dicho quíntico se encuentra en la superficie cuádrica $\sum y_i = \sum y_i^2 = 0$ en $\mathbb{P}^4$ y el grupo de Galois reducido $A_5$ actúa sobre las dos familias de líneas de esta superficie doblemente reglada mediante la permutación de coordenadas. El $A_5$ acciones sobre estas familias, parametrizadas por $\mathbb{P}^1$ son equivalentes a la acción del grupo de rotaciones de un icosaedro sobre su circunsfera y el quíntico define así un punto en los cocientes - los invariantes icosaédricos de un quíntico. Invertir cualquiera de estos cocientes (por ejemplo, utilizando las funciones hipergeométricas que se dan a continuación) es suficiente para permitirnos resolver la quíntica (en funciones racionales).
Este es el aspecto de un quíntico en la forma más simple: $$ y^5 + 5y + \gamma = 0 $$ (De hecho, cualquier quíntica puede ponerse en esta forma utilizando sólo transformaciones radicales).
Dada dicha quíntica, conjunto: $$ \nabla = \sqrt{\gamma^4 + 256}\\ Z = \frac{1}{2\cdot 1728}[2\cdot 1728 + 207\gamma^4 + \gamma^8 - \gamma^2 (81 + \gamma^4)\nabla]\\ z = \frac{{}_2F_1(\frac{31}{60}, \frac{11}{60}; \frac{6}{5}; Z^{-1})} {(1728Z)^{1/5}{}_2F_1(\frac{19}{60}, -\frac{1}{60}; \frac{4}{5}; Z^{-1})} $$ y: $$ f(z) = z(z^{10} + 11z^5 - 1)\\ H(z) = -(z^{20} + 1) + 228(z^{15} - z^5) - 494z^{10}\\ T(z) = (z^{30} + 1) + 522(z^{25} - z^5) - 10005(z^{20} + z^{10})\\ B(z) = -1 - z - 7(z^2 - z^3 + z^5 + z^6) + z^7 - z^8\\ D(z) = -1 + 2z + 5z^2 + 5z^4 - 2z^5 - z^6 $$ Entonces: $$ y = -\gamma\cdot\frac{f(z)}{H(z)/B(z)} - \frac{7\gamma^2 + 9\nabla}{2\gamma(\gamma^4 + 648)} \cdot\frac{D(z)T(z)}{f(z)^2H(z)/B(z)} $$ es una raíz.
Sustitución de $z$ con $e^{2\pi\nu i/5}z$ para $\nu=1, 2, 3, 4$ proporciona todas las demás raíces.
Incluso en esta forma explícita bastante burda, el vínculo con los sólidos regulares es visible:
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Las raíces de $f, H, T$ son, respectivamente, las localizaciones de la proyección de los vértices, los centros de las caras y los puntos medios de las aristas de un icosaedro regular sobre su circunsfera (una vez que esta circunsfera ha sido identificada con el plano complejo extendido por proyección estereográfica).
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Las raíces de los dos últimos polinomios, $B, D$ son, respectivamente, los lugares de los vértices y los centros de las caras de un cubo regular inscrito en el icosaedro.
Marc Gear
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En mi tesis doctoral traté las "Conferencias sobre el Icosaedro" de Klein de forma moderna:
Curvas elípticas y representaciones galoides icosaédricas, Universidad de Stanford (1999) http://www.math.purdue.edu/~egoins/notes/thesis.pdf
Una exposición mucho más breve y directa es mi publicación en IMRN:
Icosahedral $\mathbb Q$ -Extensiones de curvas, Mathematical Research Letters 10, 205-217 (2003) http://intlpress.com/site/pub/files/_fulltext/journals/mrl/2003/0010/0002/MRL-2003-0010-0002-00019947.pdf
Rainer Schulze-Pillot
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CodingWithoutComments
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