¿Todos los pendientes hawaianos son homeomórficos?

Question

El Pendiente hawaiano se suele construir como la unión de círculos de radio 1/n centrados en (0,1/n): $\bigcup_1^\infty \left[ (0, \frac{1}{n}) + \frac{1}{n}S^1 \right]$ . Sin embargo, nada nos impide utilizar la secuencia de radios $1/n^2$ o cualquier otra secuencia de números $a_n$ .

Voy a llamar a un pendiente hawaiano para una secuencia (de números reales distintos), $A = \lbrace a_n \rbrace$ la unión de círculos de radio $a_n$ centrado en $(0, a_n )$ . Que la unión herede su estructura topológica de $\mathbb{R}^2$ . ¿Son todos estos espacios homeomórficos?

Si $a_n$ es una secuencia monótona decreciente que converge a $0$ ¿es su pendiente hawaiana homeomórfica a la de la secuencia $\lbrace 1/n \rbrace$ ?

Answer 1

El arete hawaiano es la compactificación en un punto de una unión contable de intervalos abiertos (con la topología de coproducto o suma disjunta). Esta descripción es independiente de los radios utilizados para construirla.

Una bella referencia sobre este espacio es [Cannon, J. W.; Conner, G. R. The combinatorial structure of the Hawaiian earring group. Topology Appl. 106 (2000), no. 3, 225--271 MR1775709 ) Si no recuerdo mal, ahí demuestran mi afirmación.

Answer 2

Mariano tiene toda la razón. [Y también, para que conste, lo tiene Joel.]

Casualmente, a finales de 2008 surgió una pregunta equivalente en la blogosfera, y la respondí. El sitio web original es

http://mathphdthoughts.blogspot.com/2008/09/hawaiian-earring.html

Aquí está mi post en esa página:

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Para entender la diferencia [entre el pendiente hawaiano y la cuña de círculos, es decir -- 1/5/10] hay que mirar explícitamente la definición de la topología en un complejo CW con infinitas celdas. Por definición, es el límite directo sobre las topologías de los subcomplejos con sólo un número finito de celdas.

En otras palabras, un subconjunto del complejo CW es abierto si su intersección con cada célula individual es abierta. (Otra forma de decir esto es que ésta es la topología más fuerte en todo el complejo tal que cada uno de los mapas de inclusión de las celdas es continuo. Este es un caso de "topología final". No me queda claro por qué a veces se llama también "topología débil": la única explicación razonable es que los significados de "débil" y "fuerte" solían ser lo contrario de lo que son ahora, lo cual creo que es lamentablemente el caso).

De todos modos, para comparar el aro hawaiano con el ramo de círculos infinito, mira las bases de vecindad del punto central P. En el aro hawaiano, cualquier conjunto abierto que contenga a P debe contener el nº círculo entero para todo n suficientemente grande, y para los restantes círculos finitos debe contener un intervalo abierto sobre P en ese círculo. Sin embargo, en el ramillete de círculos, las vecindades de P son exactamente los subconjuntos que contienen un intervalo abierto alrededor de P en cada círculo. Se trata de una colección de vecindades mucho mayor, y de hecho la topología CW es estrictamente más fina que la topología de los aros.

A partir de esto es fácil ver que la topología CW no es compacta, en cualquier número de formas:

(i) Encuentra un subconjunto infinito cerrado y discreto.

(ii) Obsérvese que es Hausdorff y aplíquese el hecho (que puede encontrarse en la obra de Rudin Análisis real y complejo ) que dos topologías Hausdorff compactas cualesquiera sobre el mismo conjunto son incomparables.

(iii) Convénzase de que cualquier complejo CW es compacto si tiene un número finito de celdas.

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Esto generó un debate en el blog de John Armstrong:

http://unapologetic.wordpress.com/2008/09/12/hawai%ca%bbian-earrings/#comments

El último comentario menciona que el arete como la compactificación de un punto de una unión disjunta contablemente infinita de intervalos abiertos. Esta es una buena observación, tanto más cuanto que es completamente obvio El aro es un subconjunto cerrado y acotado del plano euclidiano, por tanto, compacto. Si se elimina el punto central, se obtiene una unión infinita y disjunta de intervalos abiertos. (Y, por supuesto, la compactación de un punto de un espacio Hausdorff localmente compacto es única hasta el isomorfismo único).

Esto deja claro que el tipo de homeomorfismo del pendiente no depende de los radios de las circunferencias -- siempre que converjan a 0, por supuesto. (Nótese que la monotonicidad es una hipótesis superflua. Si una secuencia converge a $0$ se puede reordenar para que sea monotónicamente decreciente, y el subconjunto resultante del plano no puede notar la diferencia).

Answer 3

La respuesta a tu primera pregunta es No, no todas son homeomórficas. En la primera pregunta no has insistido en que el a _n convergen a 0, y por lo tanto vamos a entretener la idea de otras secuencias locas. Por ejemplo, podemos dejar que a _n Enumerar todos los números racionales. En este caso, tendríamos círculos de todos los radios racionales. Está claro que esto no es homeomorfo al pendiente hawaiano ordinario. Por ejemplo, cada secuencia convergente en la oreja hawaiana ordinaria se encuentra en un camino, pero esto no es cierto para la versión densa loca, ya que cada punto será un límite de puntos en otros círculos.

Se puede hacer un contraejemplo menos loco teniendo sólo dos puntos límite en la secuencia a _n . Por ejemplo, dejemos que a _2n convergen a 1/2 y a _2n+1 convergen a 0. Este ejemplo sería compacto, pero sigue siendo diferente del pendiente clásico.

Un argumento similar muestra que dos secuencias cualesquiera con diferentes números finitos de puntos límite serán no-homeográficas. Creo que el tipo de homeomorfismo del pendiente resultante estará determinado por el tipo de homeomorfismo del conjunto {a _n }, además de la cuestión de si 0 es un punto límite.

Answer 4

Considere $\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{C}\cup i \infty$ . La inversión $z \mapsto \frac{1}{z}$ envía los círculos $(a_n,0)+a_nS^1$ a las líneas verticales $\{\frac{1}{2a_n}+i\mathbb{R}\}\cup i\infty$ . Sea $b_i=\frac{1}{a_i}$ para $i\geq 1$ y $b_0=0$ . La función $f(x)=b_{\lfloor x \rfloor} + \{x\}(b_{\lfloor x + 1\rfloor} - b_{\lfloor x \rfloor})$ es un homeomorfismo de $\mathbb{R}^+$ que envía los enteros positivos a $b_1, b_2,...$ . Dejar $\phi(x+iy)=\frac{1}{2}f(2x)+iy$ se obtiene un automorfismo del plano derecho que envía las líneas verticales $\frac{n}{2}+i\mathbb{R}$ a $\frac{1}{2a_n}+i\mathbb{R}$ . Ampliar $\phi$ para que envíe $i\infty$ a $i\infty$ la función $z\mapsto \frac{1}{\phi(1/z)}$ entonces es un homeomorfismo entre el pendiente definido con $a_i$ y el estándar.