Notación estándar para [muestreo de] una probabilidad condicional

Question

Estoy buscando la notación formal correcta del muestreo de una probabilidad condicional continua. En [ 1 ] (Tabla 4.3) escriben:

$$\text{sample } x_t^{[m]} \sim p(x_t | u_t, x_{t-1}^{[m]})$$

¿Debe utilizarse la palabra "muestra"? Y ¿se $x_t$ en $p(x_t|..)$ por definición se refieren a los elegidos $x_t^{[m]}$ ?

En mi caso tengo una probabilidad condicional $p(s|o)$ que es una función de probabilidad, por ejemplo Normal, y depende de $o$ :

$$p(s|o) = \mathcal{N}(s;o,\sigma^2)$$

Y luego quiero tomar una muestra de esta distribución: $s \sim p(s|o)$ . Con esto quiero decir que la muestra $s$ se toma en base a una probabilidad de distribución normal con $o$ como media. ¿Es esto correcto?

[ 1 ] Thrun, S., Burgard, W., y Fox, D. (2005). Robótica probabilística (Robótica inteligente y agentes autónomos. The MIT Press.

Answer 1

En la mayoría de los libros de probabilidad y estadística, la notación $$X\sim f\quad\text{or}\quad X\sim f(x)$$ significa que la variable aleatoria se distribuye a partir de la distribución de probabilidad con densidad $f$ [con respecto a una medida dominante implícita]. La mayoría de las veces, la gente utiliza $f(x)$ para representar la función $f$ , donde $x$ es una notación ficticia. Por ejemplo, la densidad gaussiana $\varphi$ se define por $$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$$ en $\mathbb{R}$ y la gente suele escribir $X\sim\varphi(x)$ donde $x$ es simplemente un símbolo que nos recuerda $f$ es una función.

El $|$ El signo utilizado en las notaciones de probabilidad condicional fue introducido por Harold Jeffreys. Al escribir $$X|Y=y\sim f(x|y)$$ significa que la distribución de la variable aleatoria $X$ condicionada a la realización $y$ de la variable aleatoria $Y$ tiene una densidad $f(\cdot|y)$ o $f(x|y)$ . En esta notación, $x$ es un dummy que puede tomar cualquier valor, mientras que $y$ es la realización condicionada de $Y$ . En su ejemplo, $$x_t^{[m]} \sim p(x_t | u_t, x_{t-1}^{[m]})$$ significa que la variable aleatoria $x_t^{[m]}$ [debe ser $X_t^{[m]}$ para distinguir la variable aleatoria de su realización $x_t^{[m]}$ ] tiene la densidad $p(\cdot | u_t, x_{t-1}^{[m]})$ dada la realización $x_t^{[m]}$ de la variable aleatoria $X_t^{[m]}$ y la realización $u_t$ de la variable aleatoria $U_t$ .