¿Cómo se utiliza el proceso de Gram-Schmidt para generar una base ortonormal de $\mathbb{R}^3$ ?

Question

Estos vectores forman una base en $\mathbb R^3$ : $$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\-1\\0\\\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}1\\2\\1\\\end{bmatrix}$$

¿Puede alguien mostrar cómo utilizar el proceso de Gram-Schmidt para generar una base ortonormal de $\mathbb R^3$ ?

Answer 1

Dejemos que $u_1=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\\end{bmatrix} ,u_2=\begin{bmatrix}2\\-1\\0\\\end{bmatrix} ,u_3=\begin{bmatrix}1\\2\\1\\\end{bmatrix}$. To find the required orthonormal basis $\{w_1,w_1,w_3\}$, first we have $$w_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{bmatrix}.$$

En segundo lugar, encontrar $u_2-(w_1\cdot u_2)w_1$ de la siguiente manera: $$u_2-(w_1\cdot u_2)w_1=\begin{bmatrix}2\\-1\\0\\\end{bmatrix}-\sqrt{2}\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\\end{bmatrix}.$$ By taking the dot product, you can see that $w_1$ is orthogonal to the above vector: $$w_1\cdot[u_2-(w_1\cdot u_2)w_1]=w_1\cdot u_2-(w_1\cdot u_2)w_1\cdot w_1=0$$ since $w_1$ is an unit vector. So we can take $$w_2=\frac{u_2-(w_1\cdot u_2)w_1}{\|u_2-(w_1\cdot u_2)w_1\|}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt3}\\-\frac{1}{\sqrt3}\\\frac{1}{\sqrt3}\\\end{bmatrix}.$$

Por último, encuentre $u_3-(w_1\cdot u_3)w_1-(w_2\cdot u_3)w_2$ de la siguiente manera: $$u_3-(w_1\cdot u_3)w_1-(w_2\cdot u_3)w_2=\begin{bmatrix}1\\2\\1\\\end{bmatrix}-0\cdot\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt3}\\-\frac{1}{\sqrt3}\\\frac{1}{\sqrt3}\\\end{bmatrix}-0\cdot\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\1\\\end{bmatrix}.$$ By taking the dot product, you can again see that $w_1$ and $w_2$ and is orthogonal to the above vector. So we can take $$w_3=\frac{u_3-(w_1\cdot u_3)w_1-(w_2\cdot u_3)w_2}{\|u_3-(w_1\cdot u_3)w_1-(w_2\cdot u_3)w_2\|}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt6}\\\frac{2}{\sqrt6}\\\frac{1}{\sqrt6}\\\end{bmatrix}.$$

Answer 2

Veamos primero esto en dos dimensiones. Después de esto, deberías saber cómo hacerlo en tres.

Supongamos que se trabaja en el plano y se tienen dos vectores linealmente independientes $v$ y $w$ . Usted quiere hacer $v$ y $w$ ortogonales entre sí en términos del producto interior euclidiano estándar. ¿Cómo se puede hacer?

Pues fíjate que podemos restar un determinado múltiplo de $w$ de $v$ Llamémoslo $cw$ donde $c$ es alguna constante para que $v - cw$ será ortogonal a $w$ . En otras palabras, después de algunas manipulaciones algebraicas encontramos que $c$ debe ser igual a

$$\frac{\langle v,w \rangle }{\langle w,w \rangle}$$

simplemente resolviendo la ecuación $\langle v - cw, w \rangle = 0$ para $c$ . Entonces ahora tendrás una base ortogonal para $\mathbb{R}^2$ , es decir, los vectores

$$w \quad \text{and} \quad v - \frac{\langle v,w \rangle }{\langle w,w \rangle} w.$$

Para encontrar una base ortonormal, basta con dividir por la longitud de cada uno de los vectores.

Sur $\mathbb{R}^3$ sólo tienes que aplicar este proceso de forma recursiva como se muestra en el enlace de la wikipedia en los comentarios anteriores. Sin embargo, primero tienes que comprobar que tus vectores son linealmente independientes. Puedes comprobarlo calculando el determinante de la matriz cuyas columnas son los vectores que has indicado en tu pregunta.